Quitando elementos de una base

Sabemos que si a una base de una topología le añadimos  más abiertos entonces obtenemos otra base. Por supuesto, siempre buscaremos bases con pocos elementos. ¿Qué sucede si quitamos elementos? Es evidente que la nueva familia puede dejar de ser base, pero pongamos el siguiente ejemplo.

Supongamos que $\beta$ es una base donde el conjunto vacío o el conjunto total están. ¿podemos quitarlos y nos quedará base? En el caso que tengamos el conjunto vacío, podemos quitarlo y nos va a quedar una base. Efectivamente, sea $\beta'$ la familia obtenida de quitar a  $\beta$ el conjunto vacío. Observemos que $\beta'$ tiene elementos, y si un abierto (no vacío) era unión de elementos de $\beta$, si estaba el vacío, lo quitamos, y nos queda una unión de elementos de elementos ahora sólo de $\beta'$ que sigue siendo el abierto. Y si el abierto que cogemos es el vacío, ... (dejo los detalles).

Sin embargo si en $\beta$ está el conjunto total, puede suceder que al quitarlo  no tengamos una base. Un ejemplo lo tenemos en la topología de Sierpinski $(X,\tau)$, con $X=\{a,b\}$ y $\tau=\{\emptyset,X,\{a\}\}$. Entonces $\tau$ es una base, pero no así $\{\emptyset,\{a\}\}$, pues al hacer las uniones arbitrarias tenemos de nuevo $\{\emptyset,\{a\}\}$. Otro ejemplo que os dejo es la topología del punto excluido, donde en toda base necesariamente tiene que estar el conjunto total.

Concluyendo, a veces es necesario que la base contenga al abierto más grande, es decir, el conjunto total.