Topología relativa de la topología a derechas

La topología del orden a derechas $\tau_r$  en un conjunto ordenado $(X,\leq)$ que no tiene máximo es la que está generada por $\beta=\{[x,\rightarrow):z\in X\}$, donde $[x,\rightarrow)=\{y\in X:x\leq y\}$. Si consideramos ${\mathbb R}$ con su orden usual, entonces $[x,\infty=[x,\infty)$. En este blog hemos llamado a esta topología la topología a derechas. Veamos cómo son las topologías relativas.

Si $A\subset{\mathbb R}$, su topología $\tau_r^A$  del orden a derechas tienes por base  $\beta^A=\{\{[a,\rightarrow)^A\}\}$, donde ahora  $[a,\rightarrow)^A=\{x\in A:a\leq x\}$. Por otro lado,  la topología relativa $(\tau_r)_{|A}$ tiene como base $\beta_{|A}=\{[x,\infty)\cap A:x\in{\mathbb R}\}$. Veamos que
$$\tau_r^A=(\tau_r)_{|A}.$$
Ya que  $[a,\rightarrow)^A=[a,\infty)\cap A$, entonces $\beta^A\subset\beta_{|A}$. Esto prueba que $\tau_r^A\subset (\tau_r)_{|A}$.

Para la otra inclusión, sea $[x,\infty)\cap A\in \beta_{|A}$, donde $x\in {\mathbb R}$. Veamos que este conjunto es abierto en $\tau_r^A$ probando que todo punto suyo es un punto interior. Efectivamente, si $a\in [x,\infty)\cap A$, entonces $x\leq a$ y por tanto, $a\in [a,\rightarrow)^A\subset [x,\infty)\cap A$: como $[a,\rightarrow)^A\in\tau_r^A$, entonces $x$ es interior a $[x,\infty)\cap A$ en $\tau_r^A$. Esto quiere decir $(\tau_r)_{|A}\subset\tau_r^A$.