Conexión y dimensión (II)

Continuando con la entrada anterior, estudiamos la conexión del conjunto $X={\mathbb R}^n\times{\mathbb R}^n-\Delta$,  donde $\Delta=\{(x,x):x\in{\mathbb R}^n\}$. Podemos ver $X$ como el producto cartesiano del espacio euclídeo ${\mathbb R}^n$ consigo mismo al que le hemos quitado su diagonal. Observemos que si $n > 1$, este conjunto no es ${\mathbb R}^{n^2}-\{(x,\ldots,x):x\in{\mathbb R}\}$.
Si $n=1$, entonces  $X=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:y < x\}\cup\{(x,y)\in{\mathbb R}^2:x > y\}$, poniendo el conjunto como unión de dos conjuntos abiertos y disjuntos: esto prueba que $X$ no es conexo.
Veamos ahora que si $n\geq 2$, entones $X$ es conexo. Y como habitualmente hacemos, probamos  que dados dos puntos de $X$, existe un conjunto conexo (en $X$) que los contiene. Sean $(x,y),(x',y')\in X$. Sin perder generalidad, supongamos que $x\not=x'$y por tanto, al no estar ambos pares en $\Delta$, entonces $y\not=y'$. Cojamos cualquier arco continuo $\alpha:I=[0,1]\rightarrow{\mathbb R}^n$ que una $x$ con $x'$ (por ejemplo el segmento que los une). Tomamos ahora $\beta:I\rightarrow{\mathbb R}^n$ otro arco uniendo $y$ con $y'$ pero que no interseque a $\alpha$, es decir, $\alpha(I)\cap\beta(I)=\emptyset$: esto es posible por que $n\geq 2$. Entonces $$\alpha\times\beta:I\rightarrow{\mathbb R}^n\times{\mathbb R}^n, (\alpha\times\beta)(t)=(\alpha(t),\beta(t))$$
une $(x,y)$ con $(x',y')$ porque $$(\alpha\times\beta)(0)=(\alpha(0),\beta(0))=(x,y),\ (\alpha\times\beta)(1)=(\alpha(1),\beta(1))=(x',y').$$
El conjunto $(\alpha\times\beta)(I)$ es un conjunto conexo (imagen continua de un conexo) y no interseca a $\Delta$: si $(a,a)\in (\alpha\times\beta)(I)$, entonces existe $t\in I$ tal que $(\alpha\times\beta)(t)=(a,a)$ luego $a\in \alpha(I)\cap \beta(I)$, es decir, $\alpha$ y $\beta$ se intersecan.
La demostración prueba realmente que $X$ es arcoconexo.
Observación: el mismo argumento no es válido si $n=1$. Por ejemplo, tomemos $(x,y)=(1,2)$ y $(x',y')=(3,4)$. Un arco de ${\mathbb R}$ que una $x$ con $x'$ es el segmento que los une, es decir, el intervalo cerrado $[1,3]$. Sin embargo no existe un arco en ${\mathbb R}$ uniendo $2$ y $4$ que no interseque al intervalo anterior. Por tanto, la dimensión del espacio euclídeo ${\mathbb R}^n$ juega un papel fundamental en el razonamiento anterior.

Conexión y dimensión

Hay muchos ejemplos de subconjuntos del espacio euclídeo cuya propiedad de conexión cambia al cambiar de dimensión. Un ejemplo conocido es el conjunto complementario de un hiperplano afín, es decir, $X={\mathbb R}^n-H$, donde $H$ es un hiperplano afín de ${\mathbb R}^n$. Un hiperplano afín es un subespacio afín de dimensión $n-1$ y no es más que es una traslación de un hiperplano vectorial. Por tanto, después de una traslación de ${\mathbb R}^n$, podemos suponer que $H$ es un hiperplano vectorial. Aclaro esta parte. Supongamos que $H=p_0+U$, donde $p_0\in {\mathbb R}^n$ y  $U$ es un hiperplano vectorial. Consideramos $f:{\mathbb R}^n\rightarrow {\mathbb R}^n$ la traslación $f(p)=p-p_0$. Es evidente que $f(H)=U$. Como $f$ es biyectiva, $$f(X)=f({\mathbb R}^n-H)=f({\mathbb R}^n)-f(H)={\mathbb R}^n-U.$$ Ya que $f$ es un homeomorfismo, la propiedad de conexión de $X$ e la misma que $f(X)$. Por tanto, nos restringimos a $f(X)$.

Por un proceso parecido, después de un isomorfismo de ${\mathbb R}^n$, podemos suponer que $H$ es el hiperplano vectorial de ecuación $x_n=0$. Analizamos las diferentes dimensiones.

Si $n=1$, entonces $X={\mathbb R}-\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,\infty)$, luego $X$ no es conexo. 

Si $n=2$, entonces $$X={\mathbb R}^2-\{(x,y):y=0\}=\{(x,y):y < 0\}\cup \{(x,y): y > 0\}.$$ Este conjunto se puede escribir como $$X=({\mathbb R}\times (-\infty,0))\cup((0,\infty)\times {\mathbb R}),$$ que es unión de dos abiertos (producto de abiertos de ${\mathbb R}$) y conexos (productos de intervalos) de ${\mathbb R}^2$. Por tanto, estos dos conjuntos son las componentes conexas de $X$ y así, $X$ no es conexo.

Si $n\geq 3$, el conjunto $X$ es conexo. Hay varias maneras de probarlo y una es probar que dados dos puntos de $X$, existe  un conjunto conexo en $X$ que contiene a ambos puntos.  Se sabe que ${\mathbb R}^n-\{(0,\ldots,0)\}$ es conexo si $n\geq 2$.  Sean $p,q\in X$. Tomamos las rectas   $L$ y $L'$ que pasan por $p$ y $q$ respectivamente con vector de dirección $(1,0,\ldots,0)$. Estas rectas están en $X$ pues la última coordenada de sus puntos es $p_n$ o $q_n$, que no es cero. Las rectas intersecan el hiperplano de ecuación $x_1=0$ en dos puntos, a saber, $p'=(0,p_2,\ldots,p_n)$, $q'=(0,q_2,\ldots,q_n)$. Estos puntos pertenecen a $Y=\{0\}\times ({\mathbb R}^{n-1}-\{(0,\ldots,0)\})\subset X$ que es conexo al ser homeomorfo a ${\mathbb R}^{n-1}-\{(0,\ldots,0)\}$ y ser $n-1\geq 2$. Por tanto, el conjunto conexo en $X$ que contiene a $p$ y a $q$ es $L\cup Y\cup L'$: es conexo al ser unión de tres conexos que uno y el siguiente no se intersecan.

El mismo razonamiento dice que $X$ es arcoconexo.

Probando que los intervalos son conexos usando compacidad

Vamos a probar que los intervalos de ${\mathbb R}$ son los únicos conjuntos conexos de  ${\mathbb R}$ usando el concepto de compacidad. En primer lugar, ya sabíamos que un conjunto conexo de ${\mathbb R}$ tiene que ser un intervalo. Por otro lado, es trivial que el conjunto vacío y los conjuntos formados por un punto, es decir, los intervalos cerrados de la forma $[x,x]$ son conexos. 

El resultado de compacidad que vamos a utilizar es que dados dos conjuntos compactos $A$ y $B$ de ${\mathbb R}$, la distancia se alcanza en dos puntos, es decir, existen $a\in A$ y $b\in B$ tal que  $d(a,b)=d(A,B)$ donde  $d(A,B)=\inf\{d(a,b):a\in A,b\in B\}$. También vamos a usar que los intervalos cerrados y acotados son compactos por el teorema de Heine-Borel. La prueba de que los intervalos son conexos la hacemos caso por caso.

En primer lugar, veamos que $[0,1]$ es conexo. Si $\{A,B\}$ es una partición por abiertos, también lo es por cerrados, y al ser cerrados de un compacto, $A$ y $B$ son compactos. Sean $a\in A$ y $b\in B$ tales que $d(a,b)=d(A,B)$. Ya $A\cap B=\emptyset$, este número debe ser positivo porque en caso contrario, $a\in   \overline{B}=B$. Sea  $c=(a+b)/2$. Entonces   $|c-a|=|(a-b)/2| < |a-b|$ lo que dice que  $c\not\in B$; y del mismo modo, tenemos  $c\not\in A$. Esto es una contradición porque $c$ se encuentra entre $a$ y $b$ y $[0,1]$ es un intervalo.

Una vez probado que $[0,1]$ es conexo, para los otros casos el razonamiento es fácil, pues
$$[0,1)=\cup_{n\in{\mathbb N}}[0,1-\frac{1}{n+1}],\ \ (0,1)=\cup_{n\in{\mathbb N}}[\frac{1}{n+1}, 1-\frac{1}{n+1}],$$
escribiendo ambos conjuntos como unión de conexos (intervalos cerrados y acotados) cuya intersección es no vacía.