viernes, 29 de enero de 2016

Conexión y dimensión (II)

Continuando con la entrada anterior, estudiamos la conexión del conjunto $X={\mathbb R}^n\times{\mathbb R}^n-\Delta$,  donde $\Delta=\{(x,x):x\in{\mathbb R}^n\}$. Podemos ver $X$ como el producto cartesiano del espacio euclídeo ${\mathbb R}^n$ consigo mismo al que le hemos quitado su diagonal. Observemos que si $n > 1$, este conjunto no es ${\mathbb R}^{n^2}-\{(x,\ldots,x):x\in{\mathbb R}\}$.
Si $n=1$, entonces  $X=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:y < x\}\cup\{(x,y)\in{\mathbb R}^2:x > y\}$, poniendo el conjunto como unión de dos conjuntos abiertos y disjuntos: esto prueba que $X$ no es conexo.
Veamos ahora que si $n\geq 2$, entones $X$ es conexo. Y como habitualmente hacemos, probamos  que dados dos puntos de $X$, existe un conjunto conexo (en $X$) que los contiene. Sean $(x,y),(x',y')\in X$. Sin perder generalidad, supongamos que $x\not=x'$y por tanto, al no estar ambos pares en $\Delta$, entonces $y\not=y'$. Cojamos cualquier arco continuo $\alpha:I=[0,1]\rightarrow{\mathbb R}^n$ que una $x$ con $x'$ (por ejemplo el segmento que los une). Tomamos ahora $\beta:I\rightarrow{\mathbb R}^n$ otro arco uniendo $y$ con $y'$ pero que no interseque a $\alpha$, es decir, $\alpha(I)\cap\beta(I)=\emptyset$: esto es posible por que $n\geq 2$. Entonces $$\alpha\times\beta:I\rightarrow{\mathbb R}^n\times{\mathbb R}^n, (\alpha\times\beta)(t)=(\alpha(t),\beta(t))$$
une $(x,y)$ con $(x',y')$ porque $$(\alpha\times\beta)(0)=(\alpha(0),\beta(0))=(x,y),\ (\alpha\times\beta)(1)=(\alpha(1),\beta(1))=(x',y').$$
El conjunto $(\alpha\times\beta)(I)$ es un conjunto conexo (imagen continua de un conexo) y no interseca a $\Delta$: si $(a,a)\in (\alpha\times\beta)(I)$, entonces existe $t\in I$ tal que $(\alpha\times\beta)(t)=(a,a)$ luego $a\in \alpha(I)\cap \beta(I)$, es decir, $\alpha$ y $\beta$ se intersecan.
La demostración prueba realmente que $X$ es arcoconexo.
Observación: el mismo argumento no es válido si $n=1$. Por ejemplo, tomemos $(x,y)=(1,2)$ y $(x',y')=(3,4)$. Un arco de ${\mathbb R}$ que una $x$ con $x'$ es el segmento que los une, es decir, el intervalo cerrado $[1,3]$. Sin embargo no existe un arco en ${\mathbb R}$ uniendo $2$ y $4$ que no interseque al intervalo anterior. Por tanto, la dimensión del espacio euclídeo ${\mathbb R}^n$ juega un papel fundamental en el razonamiento anterior.

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