Probando que los intervalos son conexos usando compacidad

Vamos a probar que los intervalos de ${\mathbb R}$ son los únicos conjuntos conexos de  ${\mathbb R}$ usando el concepto de compacidad. En primer lugar, ya sabíamos que un conjunto conexo de ${\mathbb R}$ tiene que ser un intervalo. Por otro lado, es trivial que el conjunto vacío y los conjuntos formados por un punto, es decir, los intervalos cerrados de la forma $[x,x]$ son conexos. 

El resultado de compacidad que vamos a utilizar es que dados dos conjuntos compactos $A$ y $B$ de ${\mathbb R}$, la distancia se alcanza en dos puntos, es decir, existen $a\in A$ y $b\in B$ tal que  $d(a,b)=d(A,B)$ donde  $d(A,B)=\inf\{d(a,b):a\in A,b\in B\}$. También vamos a usar que los intervalos cerrados y acotados son compactos por el teorema de Heine-Borel. La prueba de que los intervalos son conexos la hacemos caso por caso.

En primer lugar, veamos que $[0,1]$ es conexo. Si $\{A,B\}$ es una partición por abiertos, también lo es por cerrados, y al ser cerrados de un compacto, $A$ y $B$ son compactos. Sean $a\in A$ y $b\in B$ tales que $d(a,b)=d(A,B)$. Ya $A\cap B=\emptyset$, este número debe ser positivo porque en caso contrario, $a\in   \overline{B}=B$. Sea  $c=(a+b)/2$. Entonces   $|c-a|=|(a-b)/2| < |a-b|$ lo que dice que  $c\not\in B$; y del mismo modo, tenemos  $c\not\in A$. Esto es una contradición porque $c$ se encuentra entre $a$ y $b$ y $[0,1]$ es un intervalo.

Una vez probado que $[0,1]$ es conexo, para los otros casos el razonamiento es fácil, pues
$$[0,1)=\cup_{n\in{\mathbb N}}[0,1-\frac{1}{n+1}],\ \ (0,1)=\cup_{n\in{\mathbb N}}[\frac{1}{n+1}, 1-\frac{1}{n+1}],$$
escribiendo ambos conjuntos como unión de conexos (intervalos cerrados y acotados) cuya intersección es no vacía.