Lema de Urysohn ¿para qué sirve?

Hoy hemos explicado en clase en lema de Urysohn: en un espacio topológico normal $X$, dos cerrados disjuntos se pueden separar por aplicaciones continuas de $X$ en $[0,1]$ de forma que en un cerrado la aplicación vale 0 y en el otro, 1.

El lema de Urysohn es uno de esos resultados que el alumno lo recibe más o menos indiferente, a pesar de los esfuerzos por parte del profesor en insistir de su importancia. Pocas veces, durante la licenciatura, saldrá dicho lema, pero cuando aparezca será para hacer pasos fundamentales en una demostración o teoría. Voy a intentar (no sé si lo conseguiré) poner tres ejemplos de ello.

El primero es un resultado topológico y nos dice cuándo un espacio topológico $(X,\tau)$ es metrizable, es decir, cuándo podemos afirmar que existe una distancia en X de forma que la topología del correspondiente espacio métrico sea la misma que ya teníamos, es decir, $\tau$. El resultado clásico dice que si el espacio satisface el segundo axioma de numerabilidad y es normal, entonces es metrizable. Para ello, usando el lema de Urysohn, se prueba que el espacio $(X,\tau)$ es homeomorfo a un subconjunto del espacio métrico $[0,1]^{\bf R}$.

El segundo se refiere cuando hablamos de particiones de la unidad. No voy a hablar de qué son las particiones de la unidad, pero están muy relacionadas con el lema de Urysohn. Las particiones de la unidad se usan, hablando un poco a la ligera, cuando uno quiere hacer una teoría a partir de "trozos pequeños". Un ejemplo es cuando uno quiere decir cómo se integra en una superficie. No es problema poder definir la integral de una función en un abierto pequeño de la superficie, pero el problema es como definirla para una función definida en TODA la superficie. Las particiones de la unidad nos permite EXTENDER dicha integral.

Por último, un tercer ejemplo de aplicación del lema de Urysohn aparece cuando uno se pregunta si una variedad se puede ver como un subconjunto de un espacio euclídeo $R^n$. Una variedad de dimensión n es un espacio topológico de forma que localmente es homeomorfo a $R^n$. Por ejemplo, una curva es una variedad de dimensión 1 y una superficie, una variedad de dimensión 2. Me centro en superficies. Hay que imaginarse una superficie como un espacio topológico abstracto que satisface la propiedad de variedad (y no como un subconjunto de $R^3$). La pregunta natural es si existe un espacio euclídeo $R^n$ de forma que la superficie sea homeomorfa a un subconjunto de $R^n$. Una condición suficiente es que el espacio sea AN2, Hausdorff y normal. Y en la prueba es clave el lema de Urysohn.

Una curiosidad. Un teorema en la línea del último fue dado por Nash, el de la película "Una mente maravillosa": es el teorema de embebimiento de Nash y publicado en el Annals of Mathematics en 1956. Si habéis visto la película, casi al final del todo, cuando le dicen a Nash que la Academia Sueca está pensando en darle el Premio Nobel, el amigo le dice que una de sus aportaciones, entre otras, es dicho teorema.

(Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas y cuyo blog anfitrión es Gaussianos.)

Primer axioma de numerabilidad en la topología cofinita

Planteo dos problemas en esta entrada respecto de la topología de los complementos finitos. Tomo como conjunto, el de los números reales.

1. ¿Satisface el primer axioma de numerabilidad? Creo que no.

2. Por tanto, este espacio es candidato a encontrar ejemplos de subconjuntos $A$, $x\in A$ un punto no interior de $A$ pero de forma que toda sucesión convergente a $x$, a partir de un cierto lugar, se encuentra contenida en $A$.

Arcos en la topología del punto incluido

Dado un conjunto $X$, $p\in X$ un elemento fijo y $\tau$ la topología del punto incluido para dicho punto, sabemos que $(X,\tau)$ es un espacio arcoconexo. Se quiere mostrar que dado el punto $p$ y otro $q$, hay muchos arcos que los une. El que se dio en clase fue $\alpha(t)=p$ si $t\in [0,1/2)$ y $\alpha(t)=q$ si $t\geq 1/2$. Pero otro arco puede ser el siguiente: $\beta(t)=p$ si $t\in [0,1/4)$ y $\beta(t)=q$ si $t\in [1/4,1]$. Son arcos diferentes, aunque la imagen es la misma.

Tomamos ahora $X=\mathbb{R}$, $p=0$. Con la misma topología del punto incluido, el segmento que une $p$ con otro punto $q$ NO es un arco, porque no es continua. Recordamos que el segmento está dado por $\alpha(t)=(1-t)p+tq=tq$. Si tomamos $O=\{0\}$, entonces $alpha^{-1}(O)=\{0\}$ que no es abierto en $[0,1]$.

Si podemos "separar"...

Cuando nos imaginamos que un subconjunto del espacio euclídeo está formado por varios trozos, y por tanto no es conexo, muchas veces es porque podemos "separar" o "distinguir" dichos trozos. El ejemplo que se hizo en clase de que el conjunto (de $R^3$) formado por dos personas es no conexo es un botón de muestra.

Otro ejemplo es el siguiente. En el espacio $R^3$, sea $X=X_1\cup X_2$, donde $X_1$ es la bola de radio 1 centrada en el punto $(0,4,0)$ y $X_2$ es la recta $x=0,y=-2$. Tomamos el plano $P$ de ecuación $y=1$. Entonces $P$ 'separa' $X_1$ de $X_2$, además, en dos abiertos. Concretamente, si $P^+=\{y>1\}$ y $P^{-}=\{y<1\}$, estos semiespacios son abiertos de $R^3$, al ser cada uno de ellos imágenes inversas, mediante aplicaciones continuas, de abiertos. Además $X_1=P^{+}\cap X$ y $X_2=P^{-}\cap X$, probando que $X$ no es conexo.

El siguiente ejemplo nos dice que para separar uno puede usar 'cosas' que no sean planos. Así, en el plano $R^2$ tomamos $X=C_1\cup C_2$, donde $C_1$ y $C_2$ son circunferencias centradas en el origen de radios 1 y 2, respectivamente. La aplicación continua de $R^2$ en $R$ dada por $f(x,y)=x^2+y^2$ nos dice que $A=\{(x,y);x^2+y^2<9/4\}$ y $B=\{(x,y);x^2+y^2>9/4\}$ son abiertos de $R^2$ y que $C_1=X\cap A$ y $C_2=X\cap B$, probando que $X$ no es conexo.