domingo, 8 de noviembre de 2009

Más sobre conjuntos densos

Siguiendo con conjuntos densos, se imagina uno que un conjunto denso debe ser "muy grande". Podríamos decir que sí, pero "grande" desde un punto de vista topológico, como no podría ser de otra forma, porque en cuanto a su "tamaño" viéndolo como conjunto, la cosa cambia. Pongo dos ejemplos.

Sea X un conjunto con la topología T del punto incluido para un punto p. Entonces el conjunto A=\{p\} es denso en X: dado cualquier abierto de (X,T), debe contener a p, luego interseca a A. En este caso, A ¡sólo tiene un elemento!.

Tomamos ahora X con la topología discreta T. Entonces todo conjunto es cerrado, es decir, A=\overline{A}. Por tanto, el único conjunto denso es X. En este ejemplo, cualquier subconjunto suyo, por muy grande que sea (desde el punto de vista conjuntista), nunca es denso en X.

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