Homeomorfismos que no son afinidades

Por supuesto que no todos los homeomorfismos de R^n son afinidades (ver entrada de ayer). Un ejemplo es la función tag(x), que es un homeomorfismo entre el intervalo (-\pi/2,\pi/2) y la recta real R.

Otro ejemplo es el de una recta de R^n y R. Así, al recta R\times\{0\} del plano es homeomorfa a R, mediante la aplicación \phi(x,0)=x y \phi no es una afinidad.

Otro ejemplo es que la gráfica de una parábola y=x^2, esto es, A=\{(x,x^2);x\in R\} es homeomorfa a una recta. Esto es evidente si nos imaginamos A como si fuera una cuerda: no hay nada más que "bajar" la cuerda y hacerla una recta. En este caso el homeomorfismo entre A y R es \phi(x,x^2)=x y de nuevo no es una afinidad.

Los dos últimos ejemplos son casos particulares de un resultado más general que nos dice que si f:R^n\rightarrow R es una aplicación continua, entonces el grafo de f, es decir, el conjuntoA=\{(x,f(x));x\in R\}\subset R^{n+1} es homeomorfo a R^n, sin más que tomar\phi(x,f(x))=x.
En el primer ejemplo, f(x)=0, y en el segundo, f(x)=x^2.