Una "aplicación" de los homeomorfismos

Entre uno de los usos de los homeomorfismos es que, para estudiar la topología de un espacio X, podemos sustituir dicho espacio por otro Y homeomorfo a él, y tal que Y sea ´"más fácil" de estudiar. Es así, usando homeomorfismos, cuando uno dice algo del tipo "sin perder generalidad, podemos suponer que X es Y". ¿Qué quiere decir esto exactamente?

Supongamos que X es el círculo de R^2 de centro (2,4) y radio 5. Queremos hallar el interior de X. Sabemos que X es homeomorfo al círculo Y de centro el origen y radio 1. Y supongamos que para nosotros es más fácil estudiar el problema de interior para Y. Entonces decimos, "sin perder generalidad, podemos suponer que el círculo es Y".

Hallamos ahora el interior de Y, y probamos entonces que int(Y) es el conjunto vacío. Consideramos f un homeomorfismo de R^2 en R^2 que me lleva Y en X: por ejemplo, la homotecia de razón 5 seguido de la traslación de vector de traslación (2,4). Entonces f(Y)=X. Se sabe que dado un homeomorfismo, f(int(Y))=int (f(Y)). Por tanto, f(int(Y))=int(X), es decir, el vacío, ya que int(Y) es el vacío.