miércoles, 25 de noviembre de 2009

Un intervalo es homeomorfo a una recta

Cuando uno trabaja con la recta de los números reales R (pienso en Cálculo, en primero de carrera), uno la pinta habitualmente como "una recta en el papel". Esto en verdad es una "representación" de R, ya que la recta en el papel es al menos, un subconjunto del plano (RxR). Sin embargo, mentalmente, es así como uno se imagina R.

En verdad, si uno considera una recta afín de R^n, entonces es fácil probar que dicha recta es homeomorfa a un intervalo abierto. En particular a R. De esta forma, no hay problema de pintar R como una raya en el papel: es más, dicha raya no tiene porqué ser "recta", topoló- gicamente hablando claro.

Del mismo modo, un trozo de una recta afín, es decir, si cogemos unas tijeras y cortamos un segmento del mismo, es homeomorfo a un intervalo cerrado de R.

6 comentarios:

  1. Pero un intervalo cerrado no es homeomorfo a R, ¿verdad?

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  2. Los intervalos cerrados son homeomorfos entre sí, es decir que un intervalo cerrado es homeomorfo a otro intervalo cerrado, pero no a uno abierto, y R se considera abierto ¿no?

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  3. Estoy de acuerdo con Rosa. R se puede considerar como un intervalo abierto, y en clase probamos que los intervalos cerrados no son homeomorfos a los intervalos abiertos. Por lo que un intervalo cerrado no es homeomorfo a R.

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  4. Un intervalo cerrado no es homeomorfo a R xq R no es compacto a diferencia del intervalo cerrado, ya que un homeomorfismo preserva la compacidad, por tanto, no son homoemorfos

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  5. ¿y sin usar compacidad?

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  6. Como muetro que si A es abierto en R y B cerrado en R entonces no son homeomorfos

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