Topología del orden lexicográfico

En la entrada del 8 de diciembre, "homeomorfismos con topologías conocidas II" hubo un comentario de Pedro Jesús en la que afirmaba que la topología producto $(R\times R,T_d \times T_u)$, donde $T_d$ y $T_u$ son las topologías discretas y usual, respectivamente, era la topología del orden lexicográfico.

Precisamos más. El orden lexicográfico es un orden que se define en el producto cartesiano de dos conjuntos ordenados. Estamos, pues, en un concepto de teoría de conjuntos, no de topología. La definición es la siguiente: sean $X$ e $Y$ dos conjuntos ordenados, cuya relación de orden se denotará (en ambos) por $\leq$. En $X\times Y$ se define el orden lexicográfico, que también denotaremos por $\leq$, como $(x,y)\leq (x^{\prime},y^{\prime})$ si $x < x^{\prime}$ o $x=x^{\prime}, y\leq y^{\prime}$. Aquí $x < x^{\prime}$ significa $x\leq x^{\prime}, x\not=x^{\prime}$. Por cierto ¿porqué se llama "lexicográfico"?

En todo conjunto ordenado se puede definir una topología llamada la "topología del orden". La topología del orden lexicográfico no es más que dicha topología en $X \times Y$ y con el orden lexicográfico.

Se considera un conjunto X con un orden $\leq$. Si $a,b\in X$, se define $(a,b)=\{x\in X; a < x < b$, $[a,b)=\{x\in X;a\leq x < b\}$ y de forma análoga $(a,b]$.

La topología T del orden es la que tiene por base $$\beta=\{(a,b),[m,b),(a,M];a,b\in X\}.$$ Aquí m y M denotan (si existieran) un mínimo y un máximo de $X$, es decir, por ejemplo, $m\leq x$ para cada $x\in X$.

Por ejemplo, si consideramos $X=R$, conjuntos de los números reales, y el orden usual, entonces (como no existen m ni M) $\beta$ coincide con la base usual de la topología usual.

Acabamos esta entrada proponiendo como ejercicio el probar que la topología del orden lexicográfico en R^2 coincide con la topología producto de la usual por la discreta, justificando de esta forma, la frase inicial de Pedro Jesús.

Topologías homeomorfas a la usual

Planteo el siguiente problema que ha surgido en clase. Sea $f:(\mathbb{R},\tau_u)\rightarrow (\mathbb{R},\tau)$ un homeomorfismo, donde $\tau_u$ es la topología usual ¿entonces $\tau$ es la topología usual? Es decir, ¿la única topología homeomorfa a la topología usual es ella misma?

La respuesta es no.

Un ejemplo es el siguiente. Sea f cualquier biyección de $R$ en $R$ y sea $\tau$ la topología $f(\tau_u)$. Entonces es evidente que $f:(\mathbb{R},\tau_u)\rightarrow (\mathbb{R},\tau)$ es un homeomorfismo, y $\tau$ no tiene porqué ser $\tau_u$. Como ejemplo explícito de ello es la aplicación $f(x)=x$ si $x$ no es ni $0$ ni $2$, y f(0)=2 y f(2)=0. Entonces $(-1,1)\in\tau_u$ luego $f(-1,1)\in\tau$ es decir $((-1,1)-\{0\})\cup\{2\}$. Pero este conjunto no es un elemento de $\tau_u$.

Otro ejemplo análogo, pero cambiando el conjunto de los números reales es $X=\{a,b\}$. Consideramos $\tau=\{\emptyset,X,\{a\}\}$ y $\tau'=\{\emptyset,X,\{b\}\}$. Entonces la aplicación $f:(X,\tau)\rightarrow (X,\tau')$ dada por $f(a)=b$ y $f(b)=a$ es un homeomorfismo, pero $\tau'\not=\tau$.

Topología producto: palabras que suenan bien III

Sigo con la misma idea de la entrada de ayer. Cambiamos ahora la topología de Sorgenfrey por la topología a derechas T_d, es decir, la generada por la base \beta=\{[x,\infty);x\in\mathbb{R}\}. De nuevo nos podríamos preguntarnos para qué valores de m, los conjuntos A_m son homeomorfos a (R,T_d). Se sabe que las rectas y=0, x=0 e y=x sí son homeomorfos a (R,T_d).

Para que las cosas sean algo más complicadas, consideramos el producto (R^2,T_SxT_d). Se sabe que la recta y=0 es homeomorfa a la recta de Sorgenfrey, y que la recta x=0 a la topología a derechas. Pero no tenemos ahora el resultado inmediato para la diagonal, es decir, la recta y=x.

La pregunta que dejo es ¿A_m es homeomorfo a algún espacio conocido? Por ejemplo, creo que para m=-1, tenemos que A_m tiene la topología discreta.

Topología producto: palabras que suenan bien II

"Continuando" con la entrada del 10 de diciembre del año pasado, nos preguntamos por cómo las palabras sonarían bien con la topología producto. Esta entrada es para insistir en un comentario que se hizo en clase sobre la topología de Sorgenfrey y topología producto.

No tiene sentido preguntarse si el producto de la topología de Sorgenfrey por sí misma es de nuevo la topología de Sorgenfrey. La topología de Sorgenfrey T_S es una topología definida en el conjunto de los números reales R. Si se hace el producto topológico, se tendría la topología producto T_S x T_S en R^2, y no nos podemos preguntar si T_S x T_S es la "topología de Sorgenfrey" en R^2.

Pero sí podemos tomar subconjuntos de R^2 "parecidos" a conjuntos de números reales, tales como rectas y preguntarnos si la topología inducida es homeomorfa a la recta de Sorgenfrey.

Ya se comentó en clase que la recta y=-x hereda la topología discreta, luego NO es homeomorfa a la recta de Sorgenfrey. Consideramos ahora la recta y=0, es decir, A=\{(x,0);x\in \mathbb{R}\}. Entonces A, con la topología inducida es homeomorfa a la recta de Sorgenfrey, ya que en un espacio producto X\times \{q\} \cong X.

Consideramos el conjunto B dado por la recta y=x. De nuevo, B es homeomorfo a la recta de Sorgenfrey ya que B es la diagonal de (RxR,T_S,T_S) y se sabe que la diagonal es homeomorfa a cada uno de los factores.

Finalmente, podemos considerar los conjuntos A_m=\{(x,mx);x\in\mathbb{R}\}, es decir, las rectas y=mx, y preguntarnos para qué valores de m, el conjunto A_m es homeomorfo a la recta de Sorgenfrey: sabemos que para m=-1 no, y para m=0,1, sí.

Homeomorfismos con topologías conocidas II

Volviendo a las topologías "con nombre", nos podemos preguntar si alguna topología con nombre coincide con otra. Me refiero a lo siguiente. Por ejemplo, consideramos R con la topología usual, y N el conjunto de los números naturales con la topología inducida de la usual. Entonces dicha topología es la topología discreta (¡una topología con nombre!).

¿Sería posible buscar más ejemplos? Otro caso es el siguiente. Sea R con la topología a derechas, es decir, la que está generada por los intervalos de la forma [a,\infty). Si tomamos de nuevo N con la topología inducida, entonces la topología inducida es la generada por los conjuntos de la forma B_n=\{n,n+1,\ldots,\},, es decir, ¡otra topología con nombre!

Otro ejemplo final. Sea R con la topología de Sorgenfrey, y N el conjunto de los números naturales, con la topología inducida. Si tomamos abiertos de la forma [x,x+1) y lo intersecamos con N, resulta que cada conjunto de la forma \{n\} es un abierto. Luego la topología inducida es la discreta ¡otra con nombre!

Os animo a que busquéis más ejemplos.

Homeomorfismos con topologías conocidas

Esta entrada viene motivada porque se ha definido diferentes topologías ("con nombre") en un mismo conjunto, y parece natural pensar que entonces no son homeomorfas. Por ejemplo, en el conjunto de los números naturales tenemos la topología T1 formada por los conjuntos A_n=\{1,2,\ldots,n\} y la topología T2 de los conjuntos B_n=\{n,n+1,\ldots\}. Entonces (N,T1) no es homeomorfos a (N,T2) ya que si hubiera algún homeomorfismo, llevaría abiertos en abiertos, pero los abiertos en T1 son conjuntos finitos y en T2 no.

La pregunta que hago es al revés: dado un conjunto X con dos topologías diferentes, ¿pueden ser homeomorfos ambos espacios? Cuando en clase hemos hecho ejemplos de homeomorfismos, los conjuntos eran diferentes.

Un ejemplo, trivial, de que sí son homeomorfos es el siguiente. Sea X=R el conjunto de los números reales con la topología usual T1. Sea f una aplicación biyectiva (¡cualquiera!) de R en R. Se define T2=f(T1). Entonces la aplicación f:(R,T_1)\rightarrow (R,T_2) es un homeomorfismo. Sin embargo los elementos de T2, es decir, los abiertos en esa topología ¡pueden ser conjuntos raros!

Pero buscando un ejemplo entre espacios más conocidos tenemos los dos siguientes:

1. Topología de Sierpinski. Sea X=\{a,b\} con las topologías T_1=\{\emptyset,X,\{a\}\} y T_2=\{\emptyset,X,\{b\}\}. Entonces la aplicación f dada por f(a)=b y f(b)=a es un homeomorfismo de (X,T1) en (X,T2).

2. En R consideramos las topologías T1 generada por los intervalos de la forma [a,\infty) y T2 por los intervalos (-\infty),a] . Entonces la aplicación f:(R,T_1)\rightarrow (R,T_2) dada por f(x)=-x es un homeomorfismo.

Homeomorfismos entre polígonos del plano

En esta entrada queremos probar que todos los polígonos del plano son homeomorfos. Consideraremos, para simplificar, polígonos regulares.

La idea se basa en coger un polígono de n lados tal que $n>3$ para convertirlo en uno de $n-1$ lados. Se podría hacer la operación tantas veces como se quiera (hasta llegar a un polígono de $n=3$ lados) y usar su inversa para crear uno de $n+1$ lados. Sea $P_n$ un polígono regular de n lados cuyos vértices son: $\{v_1,\ldots,v_n\}$ con $v_k=(\cos(\frac{2k\pi}{n}),\sin(\frac{2k\pi}{n}))$.

Si cogiéramos los cuatro primeros vértices podemos formar un polígono de 4 lados. Tenemos las diagonales $v_1v_3$ y $v_2v_4$. La idea es trabajar con la diagonal $v_1v_3$ y llevar (empujar) $v_2$ hacia esta diagonal a lo largo de una dirección de 45 grados. Para ello vamos a sacar la ecuación de la recta de la diagonal $v_1v_3$.

Supongamos que los puntos $v_k$ tienen coordenadas $(x_k,y_k)$. Entonces la diagonal $v_1v_3$ tiene pendiente $m=(y_3-y_1)/(x_3-x_1)$ y la recta tiene de ecuación $Y=y_3+m(X-x_3)$. Cogemos ahora un punto $(x,y)$ de los lados $v_3v_4$ o $v_4v_1$. La ecuación de la recta que pasa por $(x,y)$ con pendiente 1 es $Y=y+(X-x)$. La intersección de esta recta con la diagonal $v_1v_3$ es $$f(x,y)=(-\frac{(x_3-x_1)x+x_3y_1+(x_1-x_3)y-x_1y_3}{x_1-x_3-y_1+y_3},\\ -\frac{(y_3-y_1)x+x_3y_1+(y_1-y_3)y-x_1y_3}{x_1-x_3-y_1+y_3}).$$
Esta sería expresión del homeomorfismo. Para la inversa, el proceso sería algo más complicado porque una parte de la diagonal iría al lado $v_3v_4$ y la otra al lado $v_4v_1$

(por Rafael Muñoz)

¿se podría probar el resultado de una forma más sencilla y rápida?