sábado, 26 de diciembre de 2009

Topología del orden lexicográfico

En la entrada del 8 de diciembre, "homeomorfismos con topologías conocidas II" hubo un comentario de Pedro Jesús en la que afirmaba que la topología producto $(R\times R,T_d \times T_u)$, donde $T_d$ y $T_u$ son las topologías discretas y usual, respectivamente, era la topología del orden lexicográfico.

Precisamos más. El orden lexicográfico es un orden que se define en el producto cartesiano de dos conjuntos ordenados. Estamos, pues, en un concepto de teoría de conjuntos, no de topología. La definición es la siguiente: sean $X$ e $Y$ dos conjuntos ordenados, cuya relación de orden se denotará (en ambos) por $\leq$. En $X\times Y$ se define el orden lexicográfico, que también denotaremos por $\leq$, como $(x,y)\leq (x^{\prime},y^{\prime})$ si $x < x^{\prime}$ o $x=x^{\prime}, y\leq y^{\prime}$. Aquí $x < x^{\prime}$ significa $x\leq x^{\prime}, x\not=x^{\prime}$. Por cierto ¿porqué se llama "lexicográfico"?

En todo conjunto ordenado se puede definir una topología llamada la "topología del orden". La topología del orden lexicográfico no es más que dicha topología en $X \times Y$ y con el orden lexicográfico.

Se considera un conjunto X con un orden $\leq$. Si $a,b\in X$, se define $(a,b)=\{x\in X; a < x < b$, $[a,b)=\{x\in X;a\leq x < b\}$ y de forma análoga $(a,b]$.

La topología T del orden es la que tiene por base $$\beta=\{(a,b),[m,b),(a,M];a,b\in X\}.$$ Aquí m y M denotan (si existieran) un mínimo y un máximo de $X$, es decir, por ejemplo, $m\leq x$ para cada $x\in X$.

Por ejemplo, si consideramos $X=R$, conjuntos de los números reales, y el orden usual, entonces (como no existen m ni M) $\beta$ coincide con la base usual de la topología usual.

Acabamos esta entrada proponiendo como ejercicio el probar que la topología del orden lexicográfico en R^2 coincide con la topología producto de la usual por la discreta, justificando de esta forma, la frase inicial de Pedro Jesús.

4 comentarios:

  1. (por Pedro Jesús Barragán) Para probar esta coincidencia lo haremos por doble inclusión.
    Primeramente, probaremos que To c Td x Tu, donde To denota la topología del orden lexicográfico ya definida en la entrada del blog.

    Tomamos un abierto de To cuyos límites son:
    (x0, y0) y (x1,y1)
    Tendríamos que distinguir dos casos:
    1) x0=x1
    En este caso, el abierto estaría formado por los puntos:
    O={(x0,y)/ y0y0}U{(x,y)/x0<x<x1}U{(x1,y)/y<y1}= {x0}x(y0,+infinito) U (x0,x1)xR U {x1}x(-infinito,y1)
    También se observa que este abierto es unión de abiertos básicos de Td x Tu.
    Por tanto, ya tendríamos probada la primera inclusión.

    Ahora para probar la otra inclusión, usaremos el Teorema de Hausdorff,
    teniendo en cuenta que :
    Una base de Td es Btd={{X}; X pertenece a R}.
    Una base de Tu es Btu={(a,b); a<b, a,b pertenecen a R},
    Una base para Td x Tu sería el producto de las bases citadas.

    Tomamos B1={X}x(a,b) y Z=(X,y), donde a<y<b.
    Tomamos B2=(A,B), donde A=(x,a) y B=(x,b), por tanto ya tendríamos:
    Z € B2 € B1, para todo elemento de la base.
    Ya tendríamos probada la otra inclusión y por tanto, la coincidencia.

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  2. Creo que es producto de la discreta por la usual.

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  3. Pedro Jesus Barragan27 de diciembre de 2009, 17:20

    Sí, es como está puesto en el primer párrafo, en el último párrafo donde se propone el ejercicio está al contrario.
    Sería Topología discreta por Topología usual.

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