Planteo el siguiente problema que ha surgido en clase. Sea f:(\mathbb{R},\tau_u)\rightarrow (\mathbb{R},\tau) un homeomorfismo, donde \tau_u es la topología usual ¿entonces \tau es la topología usual? Es decir, ¿la única topología homeomorfa a la topología usual es ella misma?
La respuesta es no.
Un ejemplo es el siguiente. Sea f cualquier biyección de R en R y sea \tau la topología f(\tau_u). Entonces es evidente que f:(\mathbb{R},\tau_u)\rightarrow (\mathbb{R},\tau) es un homeomorfismo, y \tau no tiene porqué ser \tau_u. Como ejemplo explícito de ello es la aplicación f(x)=x si x no es ni 0 ni 2, y f(0)=2 y f(2)=0. Entonces (-1,1)\in\tau_u luego f(-1,1)\in\tau es decir ((-1,1)-\{0\})\cup\{2\}. Pero este conjunto no es un elemento de \tau_u.
Otro ejemplo análogo, pero cambiando el conjunto de los números reales es X=\{a,b\}. Consideramos \tau=\{\emptyset,X,\{a\}\} y \tau'=\{\emptyset,X,\{b\}\}. Entonces la aplicación f:(X,\tau)\rightarrow (X,\tau') dada por f(a)=b y f(b)=a es un homeomorfismo, pero \tau'\not=\tau.
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