Homeomorfismos entre polígonos del plano

En esta entrada queremos probar que todos los polígonos del plano son homeomorfos. Consideraremos, para simplificar, polígonos regulares.

La idea se basa en coger un polígono de n lados tal que $n>3$ para convertirlo en uno de $n-1$ lados. Se podría hacer la operación tantas veces como se quiera (hasta llegar a un polígono de $n=3$ lados) y usar su inversa para crear uno de $n+1$ lados. Sea $P_n$ un polígono regular de n lados cuyos vértices son: $\{v_1,\ldots,v_n\}$ con $v_k=(\cos(\frac{2k\pi}{n}),\sin(\frac{2k\pi}{n}))$.

Si cogiéramos los cuatro primeros vértices podemos formar un polígono de 4 lados. Tenemos las diagonales $v_1v_3$ y $v_2v_4$. La idea es trabajar con la diagonal $v_1v_3$ y llevar (empujar) $v_2$ hacia esta diagonal a lo largo de una dirección de 45 grados. Para ello vamos a sacar la ecuación de la recta de la diagonal $v_1v_3$.

Supongamos que los puntos $v_k$ tienen coordenadas $(x_k,y_k)$. Entonces la diagonal $v_1v_3$ tiene pendiente $m=(y_3-y_1)/(x_3-x_1)$ y la recta tiene de ecuación $Y=y_3+m(X-x_3)$. Cogemos ahora un punto $(x,y)$ de los lados $v_3v_4$ o $v_4v_1$. La ecuación de la recta que pasa por $(x,y)$ con pendiente 1 es $Y=y+(X-x)$. La intersección de esta recta con la diagonal $v_1v_3$ es $$f(x,y)=(-\frac{(x_3-x_1)x+x_3y_1+(x_1-x_3)y-x_1y_3}{x_1-x_3-y_1+y_3},\\ -\frac{(y_3-y_1)x+x_3y_1+(y_1-y_3)y-x_1y_3}{x_1-x_3-y_1+y_3}).$$
Esta sería expresión del homeomorfismo. Para la inversa, el proceso sería algo más complicado porque una parte de la diagonal iría al lado $v_3v_4$ y la otra al lado $v_4v_1$

(por Rafael Muñoz)

¿se podría probar el resultado de una forma más sencilla y rápida?