sábado, 13 de marzo de 2010

Separación de puntos

En el ejemplo de hoy tomamos un conjunto $X$ y una partición por dos conjuntos $A$ y $B$, cada uno con más de dos puntos. Tomamos como abiertos de la topología $T$, aparte de los triviales, a los conjuntos $A$ y $B$. Hemos probado que no es Hausdorff ya que dos puntos de $A$ no pueden separarse por abiertos. Esto se debe a que el único abierto que contiene a cada uno de esos puntos es $A$ (aparte de $X$).

Algo parecido lo podemos en la topología del punto incluido: sea $X$ un conjunto y $p$ el punto elegido. Entonces todo abierto contiene al punto p, luego dos abiertos distintos siempre se cortan. Esto significa que no es Hausdorff.

Y también algo parecido sucede cuando en el espacio topológico existen puntos algo "patológicos". Por ejemplo, si hay un punto, donde el único entorno es todo el espacio. Esto sucede por ejemplo en la topología de Sierpinski o en la topología del punto excluido, donde el único entorno del punto excluido es todo el espacio.

1 comentario:

  1. Pedro Jesus Barragan15 de marzo de 2010, 15:40

    Siguiendo con los "puntos patológicos" encontramos otro ejemplo curioso en la siguiente topología. Consideramos (X,T) un espacio topológico y p un punto que no pertenece a X. Sea X'=XU{p} con la topología T'=TU{X'}
    Este espacio no es hausdorff, basta observar que el único entorno del punto p es X'.

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