Conexión en la esfera

Se va a probar que la esfera $\mathbb{S}^n$ menos un conjunto $A$ numerable de puntos es conexa: en verdad se demostrará que es arcoconexa.

Antes de la prueba, comentar que la demostración se puede hacer si sabemos ya que $\mathbb{R}^n-B$ es arcoconexo donde $B$ es un conjunto numerable de puntos. En tal caso, se usaría que $\mathbb{S}^n-\{p\}\cong \mathbb{R}^n$. Para aquellas personas que conozcan ese resultado sobre $\mathbb{R}^n-B$, recomiendo que hagan la demostración.

Probamos que $\mathbb{S}^n-A$ es conexo probando que dados dos puntos del conjunto existe un conjunto conexo de $\mathbb{S}^n-A$ que los contiene. Concretamente, ese conjunto va a ser un círculo máximo que pasa por ambos. Un círculo máximo es la intersección de un hiperplano vectorial de $\mathbb{R}^{n+1}$ con $\mathbb{S}^n$ (si alguien se ha perdido aquí, que considere $n=2$). Un círculo máximo es arcoconexo pues es homeomorfo a $\mathbb{S}^{n-1}$.

Tomamos dos puntos antípodas de $\mathbb{S}^n$ que no pertenecen a $A$: esto es posible, pues en caso contrario $\mathbb{S}^n\subset A$. Después de un movimiento rígido (que no cambia el problema), podemos suponer que ambos son el polo norte $N=(0,\ldots,1)$ y el polo sur $S=(0,\ldots,-1)$.

Consideramos el conjunto $D$ de círculos máximos que resultan de intersecar $\mathbb{S}^n$ con todos los hiperplanos que contienen al eje $x_{n+1}$. El conjunto $D$ es infinito no numerable ya que es biyectivo con el conjunto de rotaciones respecto del eje $x_{n+1}$. Además todos ellos se intersecan sólamente en dos puntos, a saber, $N$ y $S$.

Sean $p,q\in \mathbb{S}^n-A$. Afirmamos que existe $C\in D$ tal que $C\subset \mathbb{S}^n-A$ y $p,q\in C$. Si no fuera así, es porque cada círculo $C\in D$ interseca a $A$. Tomamos $a_C\in C\cap A$ un punto de la intersección (usamos para ello el axioma de elección). Entonces la aplicación $f:D\rightarrow A$ dada por $f(C)=a_C$ es inyectiva, ya que si se tienen dos círculos diferentes $C_1$ y $C_2$, los únicos puntos de intersección de ambos son $N$ y $S$, que no son $f(C_1)$ y $f(C_2)$. Finalmente, si $f$ es inyectiva, esto diría que $A$ es no numerable, llegando a una contradicción.

Sobre homeomorfismos entre parejas de circunferencias

¿Dos anillos entrelazados son homemorfos a dos anillos no entrelazados?

Éste es el ejercicio que os dejo. Sea $X=A\cup B$, donde $A=\{(x,y,0);x^2+y^2=1\}$ y $B=\{(0,y,z);(y-1)^2+z^1\}$. El conjunto $A$ es un círculo de radio 1 en el plano $z=0$ y $B$ es otro del mismo radio pero en el plano $x=0$ y centro $(0,1,0)$.

Sea $Y=A\cup C$, donde $C=\{(x,y,0);(x-3)^2+y^2=1\}$, que es un círculo de radio 1 y centro $(3,0,0)$.

Fijaros que los círculos $A$ y $B$ están entrelazados, no así $A$ y $C$.

¿Existe un homeomorfismo entre $X$ e $Y$? Si es así, decir cómo se construye. Si es que no, razonar porqué.

Sobre las curvas de Jordan

Esta entrada viene motivada por la demostración que estoy haciendo en otra asignatura de la licenciatura del teorema de la curva de Jordan (en su versión diferenciable). Un conjunto $C$ se dice que es una curva de Jordan si es homeomorfo al círculo $\mathbb{S}^1$. De este teorema ya se comentó en este blog, por ejemplo, aquí.

Pero para no liarnos mucho ahora, y para aquellas personas que están iniciándose en topología general, en esta entrada propongo un ejercicio de topologías cocientes.

Doy la siguiente definición. Una aplicación continua $\alpha:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n$ se dice que es una curva cerrada y simple si existe $A>0$ con dos propiedades:

1. $\alpha(t+A)=\alpha(t)$ para cada $t\in \mathbb{R}$.
2. La aplicación $\alpha$ es inyectiva en $[0,A)$.

Al número $A$ se le llama el periodo de $\alpha$. Dejo algunas observaciones fáciles de probar:

1. Para cada $n\in \mathbb{Z}$ se tiene que $\alpha(t+nA)=\alpha(t)$ para todo $t\in \mathbb{R}$.
2. Si $T$ es un número tal que $\alpha(t+T)=\alpha(t)$ para todo $t\in \mathbb{R}$, entonces $T$ es de la forma $T=nA$, donde $n\in \mathbb{Z}$.

Nos podemos imaginar las curvas cerradas simples como curvas cerradas que no se autointersecan. Por ejemplo las elipses $\alpha(t)=(a\cos(t),b\sin(t))$, con $a,b>0$. En particular, las circunferencias.

El ejercicio es probar que $\alpha(\mathbb{R})\cong \mathbb{S}^1$, o dicho con palabras, la traza de una curva cerrada simple es una curva de Jordan.