Sobre las curvas de Jordan

Esta entrada viene motivada por la demostración que estoy haciendo en otra asignatura de la licenciatura del teorema de la curva de Jordan (en su versión diferenciable). Un conjunto $C$ se dice que es una curva de Jordan si es homeomorfo al círculo $\mathbb{S}^1$. De este teorema ya se comentó en este blog, por ejemplo, aquí.

Pero para no liarnos mucho ahora, y para aquellas personas que están iniciándose en topología general, en esta entrada propongo un ejercicio de topologías cocientes.

Doy la siguiente definición. Una aplicación continua $\alpha:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n$ se dice que es una curva cerrada y simple si existe $A>0$ con dos propiedades:

1. $\alpha(t+A)=\alpha(t)$ para cada $t\in \mathbb{R}$.
2. La aplicación $\alpha$ es inyectiva en $[0,A)$.

Al número $A$ se le llama el periodo de $\alpha$. Dejo algunas observaciones fáciles de probar:

1. Para cada $n\in \mathbb{Z}$ se tiene que $\alpha(t+nA)=\alpha(t)$ para todo $t\in \mathbb{R}$.
2. Si $T$ es un número tal que $\alpha(t+T)=\alpha(t)$ para todo $t\in \mathbb{R}$, entonces $T$ es de la forma $T=nA$, donde $n\in \mathbb{Z}$.

Nos podemos imaginar las curvas cerradas simples como curvas cerradas que no se autointersecan. Por ejemplo las elipses $\alpha(t)=(a\cos(t),b\sin(t))$, con $a,b>0$. En particular, las circunferencias.

El ejercicio es probar que $\alpha(\mathbb{R})\cong \mathbb{S}^1$, o dicho con palabras, la traza de una curva cerrada simple es una curva de Jordan.