Topología cociente y topología inducida

Nos preguntamos en esta entrada si la topología cociente se lleva bien con la topología relativa. Concretamente, consideramos una relación de equivalencia $R$ en un espacio topológico $(X,\tau)$ y sea $A\subset X$. Sea $p$ la proyección en el cociente $X/R$. En $p(A)\subset X/R$ hay dos topologías. Una es la topología inducida de $\tau/R$ en $p(A)$, es decir, $(\tau/R)_{|p(A)}$.

La otra es la siguiente. Tomamos en $A$ la topología inducida, $\tau_{|A}$ y en $A$ también consideramos la relación $R$, que sigue siendo de equivalencia: observemos que puede haber elementos de $X$ que no estén en $A$, pero relacionados con elementos de $A$, o dicho de otro modo, el conjunto $A$ no tiene porqué estar saturado. Tenemos ahora el espacio cociente $(A/R,(\tau_{|A})/R)$. Sin embargo, el conjunto cociente $A/R$ no tiene porqué coincidir con $p(A)$, justo porque $A$ puede no estar saturado. Además, puede ocurrir que $A/R\not\subset p(A)$ y/o $p(A)\not\subset A/R$.

Pongo el siguiente ejemplo (lo que viene a continuación no es topología). Sea $X={\mathbb N}$ el conjunto de los números naturales y la relación de equivalencia $R$ es la que tiene tres clases: $\{1,2,3\}$, $\{4,5,6\}$ y la tercera, es $\{7,8,\ldots\}$. Tomo $A=\{2,3,4\}$ y $R$ la relación inducida en $A$. Entonces el conjunto cociente es $A/R=\{\{2,3\},\{4\}\}$. Sin embargo, $p(A)=\{\{1,2,3\},\{4,5,6\}\}$

Por tanto, y para que tenga sentido la pregunta que hos haremos, tenemos que imponer que $A$ esté saturado, porque entonces sí es evidente que $A/R=p(A)$. La pregunta que nos hacemos es si $(\tau/R)_{|p(A)}$ coincide $(\tau_{|A})/R$.

Este problema nos lo podemos plantear en cualquier ejercicio. Por ejemplo, en el de $X=[0,1]$, $R$ la relación de equivalencia que identifica el $0$ con el $1$. Tomamos varios ejemplos de conjuntos $A$: $[0,1/2)\cup \{1\}$, $(1/4,3/4)$ y $[0,1]-\{1/2\}$.