Deformando con un dedo

Siempre decimos que las 'deformaciones' de los objetos, como si fueran plastilina, son homeomorfismos. Se me ha ocurrido hacer una deformación con un dedo de una recta. Tomo la recta $X$ del plano de ecuación $y=0$ y sea $Y$ el siguiente conjunto $$Y=({\mathbb R}-[-1,1])\times\{0\})\cup \{(x,y);x^2+y^2=1,y\leq 0\}.$$ El conjunto $Y$ es como si empujáramos $X$ con un dedo en el intervalo $[-1,1]$ y lo deformáramos en la parte de abajo de la circunferencia ${\mathbb S}^1$. Veamos que son homeomorfos. Evidentemente, el homeomorfismo $f:X\rightarrow Y$ es la deformación del dedo, es decir, $$f(x,0)=\left\{\begin{array}{cc}(x,0) & x\not\in [-1,1]\\ (x,-\sqrt{1-x^2}) & x\in [-1,1]\end{array}\right.$$ Es evidente que $f$ es un homeomorfismo (dejo los detalles). La clave es que si llamamos $A$ y $B$ a cada uno de los dos conjuntos de $Y$, entonces $A\subset X$. Y $B$ es el grafo de la función $-\sqrt{1-x^2}$ definida en $[-1,1]$, y este intervalo es homeomorfo a $X-A$.