Bolas en espacios euclídeos (de nuevo)

Ya se ha comentado varias veces la 'diferencia' entre las bolas de ${\mathbb R}^n$  y las bolas en otros espacios métricos. Aquí, y a cuento de los homeomorfismos, ponemos otro ejemplo más.

Una bola de ${\mathbb R}^n$ es homeomorfa a ${\mathbb R}^n$. Para ello basta 'estirar' la bola lo suficiente hasta rellenar todo el espacio. Por ejemplo, si consideramos la bola  $B_1(O)$ centrada en el origen y de radio $1$, entonces cada segmento que sale desde el origen hasta tocar el borde de la bola lo estiramos hasta convertirlo en la semirrecta que sale del origen y con la misma dirección. El homeomorfismo explícito ya salido varias veces y no vamos ahora a repetirlo, pero sí indicar que para poder 'estirar' necesitamos 'atravesar' todo el espacio, o dicho de otro modo, es clave la estructura afín que tiene ${\mathbb R}^n$.

Porque si vamos a otro espacio métrico, esto no es tan claro. Y vamos a considerar como espacio métrico, subconjuntos de ${\mathbb R}^n$ con la distancia euclídea. Así por ejemplo,

1. Si consideramos ${\mathbb Z}^n\subset {\mathbb R}^n$ y tomamos $p=0$ y $r=1$, la bola $B_1(0)=\{0\}$, que no es homeomorfa a ${\mathbb Z}^n$ (no es biyectiva).
2. Si consideramos $X=[0,1]\cup \{3\}$ y la bola $B_2(0)$, tampoco es homeomorfa a $X$ (ni tampoco a ${\mathbb R}^n$)
3. En el mismo ejemplo anterior, la bola $B_1(0)$ tampoco es homeomorfa a $X$, ni a $B_2(0)$ ni a ${\mathbb R}^n$.