miércoles, 14 de noviembre de 2012

Homeomorfismo entre intervalos


Cuando se ha establecido en clase un homeomorfismo entre un intervalo $(a,b)$ y $(c,d)$ se ha hecho usando homotecias y traslaciones, es decir, usando una aplicación del tipo $f(x)=mx+n$. Si pensamos que estamos 'estirando' el intervalo $(a,b)$ para convertirlo en $(c,d)$, el estiramiento se hace de forma proporcional. Sin embargo no es la única forma de hacerlo en el sentido de que podemos ir estirando más de un lado que por otro. Por ejemplo, consideramos la aplicación $f(x)=x^3$. Entonces $f$ es un homeomorfismo entre ${\mathbb R}$ y ${\mathbb R}$. Si tomamos el intervalo $(-1,1)$, la imagen mediante $f$ es $(-1,1)$. Estamos estirando el intervalo $(-1,1)$ en sí mismo ¡y no es la identidad!

Otro ejemplo es considerar $f(x)=x^2$. Esta aplicación no es un homeomorfismo de ${\mathbb R}$ en ${\mathbb R}$, pero sí de $[0,\infty)$ en $[0,\infty)$. Mediante esta aplicación, el intervalo $[0,3]$ se lleva en $[0,9]$. Puede uno comparar este homeomorfismo con $g(x)=3x$, que también lleva $[0,3]$ en $[0,9]$.

Finalmente, y como se dijo en clase, uno también podría considerar la aplicación $f(x)=\sin(x)$, que es un homeomorfimos entre $(-\pi/2,\pi/2)$ en $(-1,1)$.

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