Voy a resumir los ejercicios que se hicieron ayer donde se probaba que ciertos subconjuntos de un espacio euclídeo son cerrados. Consideramos {\mathbb R}^2 con su topología usual y f:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R} una aplicación continua. Entonces los conjuntos A=\{(x,y): y\leq f(x)\} y B= \{(x,y): y= f(x)\} son cerrados. Lo probamos para el primero.
Veamos que todo punto adherente pertenece a B. Para ello sea (x,y)\in\overline{B} y \{(x_n,y_n)\}\subset B tal que \{(x_n,y_n)\}\rightarrow (x,y). En particular, \{x_n\}\rightarrow x, \{y_n\}\rightarrow y.
Como (x_n,y_n)\in B, y_n=f(x_n). Al tomar límites y usando la continuidad de f, tenemos
y=f(x).
Esto prueba que (x,y)\in B. Por tanto \overline{B}\subset B y B es cerrado.
El ejemplo que se hizo en clase fue tomar f(x)=x^2.
Para el caso de la circunferencia A=\{(x,y): x^2+y^2=1\}, y siguiendo el mismo razonamiento, tenemos
x_n^2+y_n^2=1.
Al tomar límites, x^2+y^2=1, es decir, (x,y)\in A, y así A es cerrado.
Veamos que todo punto adherente pertenece a B. Para ello sea (x,y)\in\overline{B} y \{(x_n,y_n)\}\subset B tal que \{(x_n,y_n)\}\rightarrow (x,y). En particular, \{x_n\}\rightarrow x, \{y_n\}\rightarrow y.
Como (x_n,y_n)\in B, y_n=f(x_n). Al tomar límites y usando la continuidad de f, tenemos
y=f(x).
Esto prueba que (x,y)\in B. Por tanto \overline{B}\subset B y B es cerrado.
El ejemplo que se hizo en clase fue tomar f(x)=x^2.
Para el caso de la circunferencia A=\{(x,y): x^2+y^2=1\}, y siguiendo el mismo razonamiento, tenemos
x_n^2+y_n^2=1.
Al tomar límites, x^2+y^2=1, es decir, (x,y)\in A, y así A es cerrado.
No hay comentarios:
Publicar un comentario