jueves, 3 de octubre de 2013

Quitando, quitando ??

¿Podemos hacer algo parecido a la entrada anterior, pero con la topología de Sorgenfrey $\tau_S$?

Sea la base usual de $\tau_S$ dada por $\beta_u=\{[a,b): a < b, a,b\in{\mathbb R}\}$. Una base más pequeña es tomar $\beta_u$ y quitarle un intervalo, por ejemplo, el intervalo $[0,1)$. Otra más pequeña es quitarles los intervalos de la forma $[n,n+1)$, con $n\in {\mathbb N}$.

La pregunta que planteo ahora es si las siguientes familias de subconjuntos son bases de $\tau_S$, considerando todas las posibilidades de los extremos del intervalo siendo o no racionales:
$$\{[a,b): a < b, a,b\in {\mathbb R}-{\mathbb Q}\}$$ $$\{[a,b): a < b, a,b\in{\mathbb Q}\}$$ $$\{[a,b): a < b, a\in {\mathbb R}-{\mathbb Q}, b\in {\mathbb Q} \}$$ $$\{[a,b): a < b,  a\in {\mathbb Q}, b\in {\mathbb R}-{\mathbb Q} \}.$$

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