Distancias no equivalentes

En el espacio $X$ de las funciones continuas de $[0,1]$ consideramos las dos distancias que hemos definido en clase: $$d(f,g)=\int_{0}^{1}|f(x)-g(x)|dx$$ $$d'(d,g)=\max\{|f(x)-g(x)|: 0\leq x\leq 1\}.$$
Estas dos distancias no son equivalentes. Concretamente, usando la entrada anterior, y ya que $d'\leq d$, se tiene $\tau'\subset\tau$.

Sin embargo, $\tau\not\subset\tau'$. Para ello, vamos a mostrar una sucesión $\{f_n\}\rightarrow g$ en $\tau'$, pero no es convergente en $\tau$. Definimos
$$f_n(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 &  \mbox{si $0\leq x\leq 1-\frac{1}{n}$}\\ n(x-1)+1 & \mbox{si $1-\frac{1}{n}\leq x\leq 1$}. \end{array} \right.$$
Entonces
$$d(f_n,g)=\int_{0}^1f_n(x)\ dx=\frac{1}{2n}\rightarrow 0,$$
pero
$$d'(f_n,g)=\max\{f_n(x):0\leq x\leq 1\}=1$$
que no converge a $0$, luego $\{f_n\}$ no converge a $g=0$ para la distancia $d'$.
Un dibujo de las funciones $f_n$ es el siguiente:

Observemos que las funciones $f_n$ no convergen puntualmente a la función $g=0$, aunque la propiedad sólo falla en $x=1$.