Distancia entre dos conjuntos

En un espacio métrico $(X,d)$, un punto $x\in X$ es adherente a un conjunto $A\subset X$ si su distancia a $A$ es $0$.
Si ahora tomamos dos conjuntos $A,B\subset X$, se define la distancia entre ellos como
$$d(A,B)=\inf\{d(a,b): a\in A, b\in B\}.$$ Consideramos $X$ el plano euclídeo. Entonces existen conjuntos que están a distancia $0$, pero no hay puntos de uno de ellos que esté a distancia $0$ del otro conjunto. O dicho de otra manera, no existen puntos de uno que sean adherentes al otro, es decir,
$$\overline{A}\cap B=A\cap \overline{B}=\emptyset.$$ Así, basta tomar $A={\mathbb R}\times\{0\}$ el eje de abcisas y $B=\{(x,1/x):x>0\}$. Como   $$d((n,0),(n,\frac{1}{n}))=\frac{1}{n}\rightarrow 0,$$ entonces $d(A,B)=0$. Sin embargo, ningún punto de $A$ es adherente a $B$ y al revés. En el primer caso, es claro que $d((x,0),B)>0$: la distancia es justamente la distancia de $(x,0)$ al punto que se obtiene al intersecar la perpendicular desde $(x,0)$ al conjunto $B$ (y no es el punto $(x,1/x)$).
 De hecho, $A$ y $B$ son conjuntos cerrados, luego $\overline{A}\cap B=A\cap B=\emptyset$.