Acotación, supremo, adherencia e interior

Tomamos  ${\mathbb R}$ con la topología usual. Vamos a relacionar los conceptos de acotación con el de adherencia, interior y supremo. Sea $A$ un conjunto acotado. Tenemos entonces:

• la adherencia $\overline{A}$ es acotado
• el supremo é ínfimo de $A$ coincide con el de $\overline{A}$.

Para el primer apartado, sabemos que existe $C$ tal que $|a|\leq C$ para todo $a\in A$. Si $x\in\overline{A}$, existe $a_n\rightarrow x$ con $a_n\in A$. Entonces $|a_n-x|\rightarrow 0$ y  $|x|\leq|a_n-x|+|a_n|\leq |a_n-x|+C$. Tomando límites, $|x|\leq 0+C=C$, luego $\overline{A}$ está acotado, pero además por la misma constante que $A$.

Para el segundo apartado, y como estamos con el supremo, modificamos lo anterior del siguiente modo. Tomamos $C=sup(A)$ y escribimos $$x=x-a_n+a_n\leq |x-a_n|+a_n\leq |x-a_n|+C.$$ Tomando límites, $x\leq C$, luego $C$ es una cota superior de $\overline{A}$, en particular, $sup(\overline{A})\leq C$. Pero como $A\subset \overline{A}$, también se tiene $C\leq sup(\overline{A})$, y así la igualdad.
 
Sin embargo esto cambia un poco para el interior. Si $A$ está acotado, su interior también lo está al ser un subconjunto de $A$ y todo subconjunto de un conjunto acotado también es acotado (ejercicio trivial). Sin embargo, el supremo o el ínfimo puede cambiar. Como ejemplo, sea $A=(0,1)\cup\{-1,2\}$. Entonces $A$ es acotado y el ínfimo y supremo son $-1$ y $2$. Pero el interior de $A$ es $(0,1)$ y su ínfimo y supremo son $0$ y $1$.

Continuidad de la parábola

Estamos acostumbrados a estudiar la continuidad de una función (en la topología usual) mediante la   $\epsilon-\delta$ formulación. Pero podemos hacerla también mediante la imagen inversa de abiertos. La 'diferencia' es que tenemos que saber cuál es la imagen inversa de un conjunto y esto depende de cómo sea la función.

Aún menos tenemos que hacer: basta con hallar la imagen inversa de un intervalo abierto, ya que los intervalos de este tipo forma una base de la topología. Como ejemplo, voy a considerar $f(x)=x^2$. Es inmediato que
$$f^{-1}((a,b))=\left\{\begin{array}{ll} (-\sqrt{b},-\sqrt{a})\cup(\sqrt{a},\sqrt{b})&\mbox{if $a > 0$}\\ (-\sqrt{b},\sqrt{b})&\mbox{if $a\leq 0 < b$}\\ \emptyset&\mbox{if $b\leq 0.$} \end{array}\right.$$
Y esto prueba que $f$ es continua!
 

Distancias equivalentes

Dos distancias equivalentes en un conjunto son las que determinan la mima topología. Es conocido que una condición suficiente para que $d$ y $d'$ sean equivalentes es que existan $k,m > 0$ tal que $d\leq k d'$ y $d'\leq m d$. Sin embargo el recíproco no es cierto. En esta entrada ponemos un ejemplo.

Sea $X=\{1/n:n\in {\mathbb N}\}\cup \mathbb N$ (el número $0$ no está incluído en $X$) y consideramos la distancia euclídea $d_u$ y la distancia discreta $d$ ($d(x,y)=1$ si son distintos y $d(x,x)=0$). La topología que generan las dos distancias es la discreta, pero no existen  $k, m  > 0$ tales que $d_{u}\leq k d$ y $d\leq m d_{u}$.

Para la imposibilidad de $d\leq m d_{u}$, tomamos un número natural $n$ tal que  $m < n(n+1)$ y sean $x=1/(n+1)$ y $y=1/n$. Entonces $d(x,y)=1$ pero $md_u(x,y)=m/(n(n+1))  < 1=d(x,y)$.

Tampoco es cierta la desigualdad  $d_{u}\leq k d$, y para ello usamos los números naturales que están en $X$. Pero aquí os lo dejo propuesto porque, aunque es fácil e intuitivo, formalizarlo cuesta un poco de trabajo.
 

Topología a derechas y topología relativa

Estudiamos la topología inducida en un subespacio de la topología a derechas. Recordamos esta topología y el problema que planteamos en esta entrada. En un conjunto ordenado $(X,\leq)$ la topología a derechas $\tau_d$ es la que tiene como base de la topología $\beta=\{[x,\rightarrow):x\in\mathbb{R}\}$, donde $[x,\rightarrow)=\{y\in X:x\leq y\}$. Sea $A\subset X$ un subconjunto, que también es un conjunto ordenado con el mismo orden. Entonces existen, en principio, dos topología en $A$. La primera es la inducida de $\tau_d$, que denotamos por
${\tau_d}_{|A}$ y otra es la topología a derechas en $A$, que denotamos por $\tau'$. ¿cuál es la relación entre ${\tau_d}_{|A}$ y $\tau'$?.

Para ${\tau_d}_{|A}$ una base es $$\beta_{|A}=\{B\cap A:B\in\beta\}=\{:x\in\mathbb{R}\}.$$
Para $\tau'$ una base es $\beta'=\{[a,\rightarrow):a\in A\}$, donde aquí $[a,\rightarrow)'=\{y\in A:a\leq y\}$. Veamos que ambas bases dan la misma topología. Por un lado,  $[a,\rightarrow)'=[a,\rightarrow)\cap A$, luego $\beta'\subset \beta_{A}$, es decir, $\tau'\subset{\tau_d}_{|A}$.

Para la otra inclusión, veamos que $[x,\rightarrow)\cap A$ ($x\in X$) es un abierto en $(A,\tau')$. Si $y\in [x,\rightarrow)\cap A$, entonces es evidente las inclusiones $$y\in[y,\rightarrow)\cap A=[y,\rightarrow)'\subset [x,\rightarrow)\cap A,$$ probando que todo punto $y$ de $[x,\rightarrow)\cap A$ es interior (con la topología $\tau'$).

Sobre bolas en un espacio métrico

Ya hemos comentado varias veces que las bolas en un espacio métrico no tienen la misma 'forma' que en un espacio euclídeo. El ejemplo más claro es la distancia discreta $d$ en un conjunto $X$: $d(x,y)=1$ si $x\not=y$ y $d(x,x)=0$. La topología que determina esta distancia es la topología discreta y esto se debe a cómo son las bolas en $(X,d)$, a saber, $$B_r(x)=\left\{\begin{array}{ll} \{x\}&\mbox{si $r\leq 1$}\\ X&\mbox{si $r>1$}\end{array}\right.$$ Entonces para cada $x\in X$, $\{x\}$ es un abierto al ser una bola, y así, todo punto es abierto y la topología es la discreta.

Las dos curiosidades que traigo aquí son las siguientes:  si $x\not=y$, tomando $r=2$, se tiene $B_r(x)=B_r(y)$, es decir, dos bolas son iguales y tienen distintos centros. Por otro lado, $B_2(x)=B_3(x)$, es decir, dos bolas son iguales y tienen distintos radios.

Por si se piensa que esto ocurre sólo con la distancia discreta, puede uno pensar en el siguiente ejemplo. Tomamos $X=[0,1]\cup\{5\}$ como subconjunto de la recta real $\mathbb{R}$ y con la distancia euclídea. Entonces: (i) $B_6(0)=B_6(5)$; (ii) $B_2(5)=B_3(5)$.