Topología a derechas y topología relativa

Estudiamos la topología inducida en un subespacio de la topología a derechas. Recordamos esta topología y el problema que planteamos en esta entrada. En un conjunto ordenado $(X,\leq)$ la topología a derechas $\tau_d$ es la que tiene como base de la topología $\beta=\{[x,\rightarrow):x\in\mathbb{R}\}$, donde $[x,\rightarrow)=\{y\in X:x\leq y\}$. Sea $A\subset X$ un subconjunto, que también es un conjunto ordenado con el mismo orden. Entonces existen, en principio, dos topología en $A$. La primera es la inducida de $\tau_d$, que denotamos por
${\tau_d}_{|A}$ y otra es la topología a derechas en $A$, que denotamos por $\tau'$. ¿cuál es la relación entre ${\tau_d}_{|A}$ y $\tau'$?.

Para ${\tau_d}_{|A}$ una base es $$\beta_{|A}=\{B\cap A:B\in\beta\}=\{:x\in\mathbb{R}\}.$$
Para $\tau'$ una base es $\beta'=\{[a,\rightarrow):a\in A\}$, donde aquí $[a,\rightarrow)'=\{y\in A:a\leq y\}$. Veamos que ambas bases dan la misma topología. Por un lado,  $[a,\rightarrow)'=[a,\rightarrow)\cap A$, luego $\beta'\subset \beta_{A}$, es decir, $\tau'\subset{\tau_d}_{|A}$.

Para la otra inclusión, veamos que $[x,\rightarrow)\cap A$ ($x\in X$) es un abierto en $(A,\tau')$. Si $y\in [x,\rightarrow)\cap A$, entonces es evidente las inclusiones $$y\in[y,\rightarrow)\cap A=[y,\rightarrow)'\subset [x,\rightarrow)\cap A,$$ probando que todo punto $y$ de $[x,\rightarrow)\cap A$ es interior (con la topología $\tau'$).