Distancias equivalentes

Dos distancias equivalentes en un conjunto son las que determinan la mima topología. Es conocido que una condición suficiente para que $d$ y $d'$ sean equivalentes es que existan $k,m > 0$ tal que $d\leq k d'$ y $d'\leq m d$. Sin embargo el recíproco no es cierto. En esta entrada ponemos un ejemplo.

Sea $X=\{1/n:n\in {\mathbb N}\}\cup \mathbb N$ (el número $0$ no está incluído en $X$) y consideramos la distancia euclídea $d_u$ y la distancia discreta $d$ ($d(x,y)=1$ si son distintos y $d(x,x)=0$). La topología que generan las dos distancias es la discreta, pero no existen  $k, m  > 0$ tales que $d_{u}\leq k d$ y $d\leq m d_{u}$.

Para la imposibilidad de $d\leq m d_{u}$, tomamos un número natural $n$ tal que  $m < n(n+1)$ y sean $x=1/(n+1)$ y $y=1/n$. Entonces $d(x,y)=1$ pero $md_u(x,y)=m/(n(n+1))  < 1=d(x,y)$.

Tampoco es cierta la desigualdad  $d_{u}\leq k d$, y para ello usamos los números naturales que están en $X$. Pero aquí os lo dejo propuesto porque, aunque es fácil e intuitivo, formalizarlo cuesta un poco de trabajo.