Sobre bolas en un espacio métrico

Ya hemos comentado varias veces que las bolas en un espacio métrico no tienen la misma 'forma' que en un espacio euclídeo. El ejemplo más claro es la distancia discreta $d$ en un conjunto $X$: $d(x,y)=1$ si $x\not=y$ y $d(x,x)=0$. La topología que determina esta distancia es la topología discreta y esto se debe a cómo son las bolas en $(X,d)$, a saber, $$B_r(x)=\left\{\begin{array}{ll} \{x\}&\mbox{si $r\leq 1$}\\ X&\mbox{si $r>1$}\end{array}\right.$$ Entonces para cada $x\in X$, $\{x\}$ es un abierto al ser una bola, y así, todo punto es abierto y la topología es la discreta.

Las dos curiosidades que traigo aquí son las siguientes:  si $x\not=y$, tomando $r=2$, se tiene $B_r(x)=B_r(y)$, es decir, dos bolas son iguales y tienen distintos centros. Por otro lado, $B_2(x)=B_3(x)$, es decir, dos bolas son iguales y tienen distintos radios.

Por si se piensa que esto ocurre sólo con la distancia discreta, puede uno pensar en el siguiente ejemplo. Tomamos $X=[0,1]\cup\{5\}$ como subconjunto de la recta real $\mathbb{R}$ y con la distancia euclídea. Entonces: (i) $B_6(0)=B_6(5)$; (ii) $B_2(5)=B_3(5)$.