Ya hemos comentado varias veces que las bolas en un espacio métrico no tienen la misma 'forma' que en un espacio euclídeo. El ejemplo más claro es la distancia discreta $d$ en un conjunto $X$: $d(x,y)=1$ si $x\not=y$ y $d(x,x)=0$. La topología que determina esta distancia es la topología discreta y esto se debe a cómo son las bolas en $(X,d)$, a saber,$$B_r(x)=\left\{\begin{array}{ll} \{x\}&\mbox{si $r\leq 1$}\\ X&\mbox{si $r>1$}\end{array}\right.$$ Entonces para cada $x\in X$, $\{x\}$ es un abierto al ser una bola, y así, todo punto es abierto y la topología es la discreta.
Las dos curiosidades que traigo aquí son las siguientes: si $x\not=y$, tomando $r=2$, se tiene $B_r(x)=B_r(y)$, es decir, dos bolas son iguales y tienen distintos centros. Por otro lado, $B_2(x)=B_3(x)$, es decir, dos bolas son iguales y tienen distintos radios.
Por si se piensa que esto ocurre sólo con la distancia discreta, puede uno pensar en el siguiente ejemplo. Tomamos $X=[0,1]\cup\{5\}$ como subconjunto de la recta real $\mathbb{R}$ y con la distancia euclídea. Entonces: (i) $B_6(0)=B_6(5)$; (ii) $B_2(5)=B_3(5)$.
Las dos curiosidades que traigo aquí son las siguientes: si $x\not=y$, tomando $r=2$, se tiene $B_r(x)=B_r(y)$, es decir, dos bolas son iguales y tienen distintos centros. Por otro lado, $B_2(x)=B_3(x)$, es decir, dos bolas son iguales y tienen distintos radios.
Por si se piensa que esto ocurre sólo con la distancia discreta, puede uno pensar en el siguiente ejemplo. Tomamos $X=[0,1]\cup\{5\}$ como subconjunto de la recta real $\mathbb{R}$ y con la distancia euclídea. Entonces: (i) $B_6(0)=B_6(5)$; (ii) $B_2(5)=B_3(5)$.
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