Estamos acostumbrados a estudiar la continuidad de una función (en la topología usual) mediante la $\epsilon-\delta$ formulación. Pero podemos hacerla también mediante la imagen inversa de abiertos. La 'diferencia' es que tenemos que saber cuál es la imagen inversa de un conjunto y esto depende de cómo sea la función.
Aún menos tenemos que hacer: basta con hallar la imagen inversa de un intervalo abierto, ya que los intervalos de este tipo forma una base de la topología. Como ejemplo, voy a considerar $f(x)=x^2$. Es inmediato que
$$f^{-1}((a,b))=\left\{\begin{array}{ll}
(-\sqrt{b},-\sqrt{a})\cup(\sqrt{a},\sqrt{b})&\mbox{if $a > 0$}\\
(-\sqrt{b},\sqrt{b})&\mbox{if $a\leq 0 < b$}\\
\emptyset&\mbox{if $b\leq 0.$}
\end{array}\right.$$
Y esto prueba que $f$ es continua!
Aún menos tenemos que hacer: basta con hallar la imagen inversa de un intervalo abierto, ya que los intervalos de este tipo forma una base de la topología. Como ejemplo, voy a considerar $f(x)=x^2$. Es inmediato que
$$f^{-1}((a,b))=\left\{\begin{array}{ll}
(-\sqrt{b},-\sqrt{a})\cup(\sqrt{a},\sqrt{b})&\mbox{if $a > 0$}\\
(-\sqrt{b},\sqrt{b})&\mbox{if $a\leq 0 < b$}\\
\emptyset&\mbox{if $b\leq 0.$}
\end{array}\right.$$
Y esto prueba que $f$ es continua!
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