Estamos acostumbrados a estudiar la continuidad de una función (en la topología usual) mediante la \epsilon-\delta formulación. Pero podemos hacerla también mediante la imagen inversa de abiertos. La 'diferencia' es que tenemos que saber cuál es la imagen inversa de un conjunto y esto depende de cómo sea la función.
Aún menos tenemos que hacer: basta con hallar la imagen inversa de un intervalo abierto, ya que los intervalos de este tipo forma una base de la topología. Como ejemplo, voy a considerar f(x)=x^2. Es inmediato que
f^{-1}((a,b))=\left\{\begin{array}{ll} (-\sqrt{b},-\sqrt{a})\cup(\sqrt{a},\sqrt{b})&\mbox{if $a > 0$}\\ (-\sqrt{b},\sqrt{b})&\mbox{if $a\leq 0 < b$}\\ \emptyset&\mbox{if $b\leq 0.$} \end{array}\right.
Y esto prueba que f es continua!
Aún menos tenemos que hacer: basta con hallar la imagen inversa de un intervalo abierto, ya que los intervalos de este tipo forma una base de la topología. Como ejemplo, voy a considerar f(x)=x^2. Es inmediato que
f^{-1}((a,b))=\left\{\begin{array}{ll} (-\sqrt{b},-\sqrt{a})\cup(\sqrt{a},\sqrt{b})&\mbox{if $a > 0$}\\ (-\sqrt{b},\sqrt{b})&\mbox{if $a\leq 0 < b$}\\ \emptyset&\mbox{if $b\leq 0.$} \end{array}\right.
Y esto prueba que f es continua!
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