Podemos plantear la entrada anterior en otras topologías definidas en la recta real ${\mathbb R}$. Por un lado, para hablar de acotación tenemos decir respecto de qué distancia. Como antes, vamos a considerar la distancia usual. Una primera topología a considerar es la topología de Sorgenfrey. Es fácil ver que la misma propiedad que había para la topología euclídea se satisface para los intervalos. Dejo el problema de si es cierta en general.
Otra topología que podemos tomar es la que tiene por base $\beta=\{[a,\infty):a\in{\mathbb R}\}$. Si $A=\{0\}$, entonces $\overline{A}=(-\infty,0]$, que no está acotado inferiormente. Además, los ínfimos no coinciden, siendo el de $\overline{A}$ $-\infty$ (los supremos sí son iguales). En esta topología podemos preguntarnos de nueva si es cierta la propiedad de la entrada anterior, y como antes, los primeros conjuntos a estudiar son los intervalos: la ventaja aquí es que podemos determinar fácilmente la adherencia de estos conjunto en esta topología.
¿Y respecto del interior? Pongamos el mismo ejemplo de conjunto $A$. Entonces $int(A)=\emptyset$, pero $\inf(\emptyset)=+\infty$ y por tanto, $\inf(A)<\inf(int(A))$, a pesar de que ¡¡¡$int(A)\subset A$!!! (el mismo ejemplo vale para la topología usual).
Otra topología que podemos tomar es la que tiene por base $\beta=\{[a,\infty):a\in{\mathbb R}\}$. Si $A=\{0\}$, entonces $\overline{A}=(-\infty,0]$, que no está acotado inferiormente. Además, los ínfimos no coinciden, siendo el de $\overline{A}$ $-\infty$ (los supremos sí son iguales). En esta topología podemos preguntarnos de nueva si es cierta la propiedad de la entrada anterior, y como antes, los primeros conjuntos a estudiar son los intervalos: la ventaja aquí es que podemos determinar fácilmente la adherencia de estos conjunto en esta topología.
¿Y respecto del interior? Pongamos el mismo ejemplo de conjunto $A$. Entonces $int(A)=\emptyset$, pero $\inf(\emptyset)=+\infty$ y por tanto, $\inf(A)<\inf(int(A))$, a pesar de que ¡¡¡$int(A)\subset A$!!! (el mismo ejemplo vale para la topología usual).
¿Siempre es necesaria una distancia para hablar de acotación? Puede que no estés en un espacio métrico y puedes acotar por entornos, ¿no?
ResponderEliminarSí. En verdad sería necesario tener una norma y hablar de espacios normados, pero este asunto lo dejamos. Y al hablar por "acotar por entornos" ¿te refieres a estar incluido? Eso no es acotación, eso es teoría de conjuntos.
ResponderEliminarCuando aquí estamos hablando de acotación es porque estamos considerando una distancia, y en estos ejemplos, concretamente la distancia usual de la recta real. También hay otras distancias, y el problema cambia (por ejemplo, la distancia discreta, donde todos los conjuntos están acotados). La cuestión en esta entrada y en la anterior es que la distancia usual, la distancia euclídea, va bien, en cierto sentido, entre la acotación de un conjunto y de su adherencia, pero esta adherencia es con la topología euclídea. Al cambiar de topología, pero no de distancia, en esta entrada se refleja que las cosas pueden cambiar, en verdad, en este ejemplo, es que cambian.