Sumando abiertos en la topología de Sorgenfrey

Siguiendo con la entrada anterior ¿qué sucede si cambiamos por otra topología en ${\mathbb R}$? Vamos a considerar la topología de Sorgenfrey. Con el mismo razonamiento, tenemos de nuevo $$A+B=\cup_{a\in A}h_a(B),$$
donde $h_a(x)=x+a$. El problema radica ahora en saber si $h_a$ es un homeomorfismo (que sí lo era en la topología usual). Pero en este caso, sí lo es.La biyectividad es clara; lleva bases de abiertos en bases de abiertos, pues $h_a([c,d))=[a+c,d+e)$; y lo mismo sucede con la imagen inversa, pues $h_{a}^{-1}([c,d))=[c-a,d-a)$. En verdad, en la demostración de que $A+B$ es abierto, sólo se usa que $h_a$ es abierta, no que sea un homeomorfismo.

Veamos ahora  si el contraejemplo de los cerrados también vale. Los conjuntos $F_1$ y $F_2$ son también cerrados. Por último,   $F_1+F_2$ contiene a la sucesión  $\{1/n\}$, cuyo límite es $0$, y $0\not\in F_1+F_2$ ¿hemos acabado?.