En la topología usual del ${\mathbb R}$ los intervalos abiertos juegan un papel decisivo. Por ejemplo, son base de abiertos, o base de entornos (si contiene al punto). En general, y como tiene que ser, cuando trabajamos con la topología euclídea de ${\mathbb R}$ nos olvidamos de 'abiertos', 'cerrados', 'entornos', etc, y sólo trabajamos con los intervalos abiertos.
Nos preguntamos en esta entrada si los intervalos abiertos sirven para 'definir' la topología a partir de los entornos. Me explico, consideramos para cada $x\in {\mathbb R}$ la familia $V_x=\{(a,b)\subset {\mathbb R}: a < x < b\}$, es decir, todos los intervalos abiertos que contienen a $x$ y nos preguntamos si todos los $V_x$ constituyen los sistemas de entornos de alguna topología (puede uno pensar que va a ser la topología usual). Tenemos, por tanto, que probar si satisfacen las propiedades correspondientes. Podemos ver, por ejemplo, que para cada $U\in V_x$, $x\in U$, o que si $U_1,U_2\in V_x$, entonces $U_1\cap U_2\in V_x$. Incluso la última propiedad también la satisface: si $U\in V_x$, tomamos $W=U$; entonces para cada $y\in W$, tomamos $W\in V_y$, puesto que es un intervalo abierto y contiene a $y$ y es evidente que $W\subset U$.
Sin embargo es la propiedad "si $U\in V_x$ y $W\supset U$, entonces $W\in V_x$" la que no se cumple, puesto todo conjunto que contiene a un intervalo abierto no tiene porqué ser un intervalo abierto. Podemos sacar dos conclusiones: (i) aunque los intervalos abiertos definen una base de entornos de la topología usual, no definen el sistema de entornos de alguna topología. Es cierto que una base de entornos no tiene porqué ser toda la colección de entornos, pero podría serlo para otra topología, y (ii) la propiedad "si $U\in V_x$ y $W\supset U$, entonces $W\in V_x$", que parece tonta, o trivial, no lo es, como se puede comprobar al ver la demostración del resultado de que cierta colección de subconjuntos definen los entornos de cierta topología, donde se usa varias veces.
Nos preguntamos en esta entrada si los intervalos abiertos sirven para 'definir' la topología a partir de los entornos. Me explico, consideramos para cada $x\in {\mathbb R}$ la familia $V_x=\{(a,b)\subset {\mathbb R}: a < x < b\}$, es decir, todos los intervalos abiertos que contienen a $x$ y nos preguntamos si todos los $V_x$ constituyen los sistemas de entornos de alguna topología (puede uno pensar que va a ser la topología usual). Tenemos, por tanto, que probar si satisfacen las propiedades correspondientes. Podemos ver, por ejemplo, que para cada $U\in V_x$, $x\in U$, o que si $U_1,U_2\in V_x$, entonces $U_1\cap U_2\in V_x$. Incluso la última propiedad también la satisface: si $U\in V_x$, tomamos $W=U$; entonces para cada $y\in W$, tomamos $W\in V_y$, puesto que es un intervalo abierto y contiene a $y$ y es evidente que $W\subset U$.
Sin embargo es la propiedad "si $U\in V_x$ y $W\supset U$, entonces $W\in V_x$" la que no se cumple, puesto todo conjunto que contiene a un intervalo abierto no tiene porqué ser un intervalo abierto. Podemos sacar dos conclusiones: (i) aunque los intervalos abiertos definen una base de entornos de la topología usual, no definen el sistema de entornos de alguna topología. Es cierto que una base de entornos no tiene porqué ser toda la colección de entornos, pero podría serlo para otra topología, y (ii) la propiedad "si $U\in V_x$ y $W\supset U$, entonces $W\in V_x$", que parece tonta, o trivial, no lo es, como se puede comprobar al ver la demostración del resultado de que cierta colección de subconjuntos definen los entornos de cierta topología, donde se usa varias veces.
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