El plano de Moore

Uno de los espacios topológicos que aparecen en libros de topología es el plano de Moore, probablemente más famoso por el nombre, Moore, que por su posible utilidad. El espacio $(X,\tau)$ está definido por $X=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y\geq 0\}$ y la topología se define a partir de bases de entornos de cada punto. Si  $(x,y)\in X$, con $y>0$, tomamos las bolas euclídeas centradas en $(x,y)$ e incluidas en $X$; si  $y=0$, tomamos
$$\beta_{(x,0)}=\{B_r(x,r)\cup \{(x,0)\}: r>0\}.$$ Cada elemento básico es una bola euclídea en $X$ tangente en $(x,0)$ junto con el punto $(x,0)$.

Un primer ejercicio es probar que, efectivamente, se define así un espacio topológico, es decir, que las familias $\beta_{(x,y)}$ satisfacen todas las propiedades. Un segundo ejercicio es sobre topologías relativas. Si $A=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y >  0\}$, entonces $\tau_{|A}$ es la topología usual. Esto sucede porque la base de entornos que define la topología de Moore es también de la topología usual: recordar que las bolas centradas en un punto son base de entornos con la topología usual, pero si de ellas tomamos aquellas bolas con radio menor que un $r_0$, también lo son. En nuestro caso, si $y > 0$, tomamos $r_0=y$. Por otro lado, si $B=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y =  0\}$, entonces $\tau_{|B}$ es la topología discreta. Esto se debe a que cuando intersecamos $\beta_{(x,0)}$ con $B$ (para obtener una base de entornos de $\tau_{|B}$, entonces obtenemos sólo un elemento, a saber, $\{\{(x,0)\}\}$, que es base de entornos de la topología discreta.