Compacidad local y axiomas de separación

• Haussdorff + todo punto tiene un entorno compacto -> localmente compacto.
• Haussdorf + compacto -> localmente compacto.
• regular + todo punto tiene un entorno compacto -> localmente compacto.
• regular + compacto -> localmente compacto.
• localmente compacto + Haussdorff -> T_3.

Compacidad local a gusto del consumidor

A continuación... ejemplos para todos los gustos.

1. En la topología de los complementos finitos cualquier conjunto es compacto. Este espacio, es por tanto, COMPACTO y LOCALMENTE COMPACTO.
2. El espacio euclídeo R^n NO es compacto pero SI es localmente compacto: basta tomar las bolas cerradas centradas en un punto.
3. El conjunto de los números racionales NO es compacto y NO es localmente compacto: ningún entorno es cerrado.
4. Consideramos X=Q\cup\{\infty\} con la topología \tau_u \cup \{X\}. Este espacio SI es compacto pues dado un recubrimiento, el abierto que contiene a \infty es X, y por tanto, recubre a todo el espacio. Este espacio NO es localmente compacto, pues la topología inducida en Q es la topología usual, que no es localmente compacto.
   

La otra caracterización de compacidad

Se caracterizó un espacio compacto como aquél que satisface la siguiente propiedad: para cada familia de cerrados con intersección vacía, existe una subfamilia cuya intersección también es vacía. Ya se propuso en clase usar esta caracterización de compacidad para saber si un espacio es o no compacto. Propongo que se haga con espacios conocidos (o no). Empiezo yo.

1. La topología discreta: los cerrados son los subconjuntos. Entonces para cada x del conjunto, sea el cerrado F_x=X-\{x\}. Es evidente que la intersección de todos los F_x es vacía. Si el espacio fuera compacto, habría un número finito de F's con intersección vacía, es decir, \cap_{i=1,\ldots,n}F_{x_i}=\emptyset. Al tomar complementarios, X=\{x_1,\ldots,x_n\}, es decir, X debe ser finito.
2. La topología de los complementos finitos. Los conjuntos cerrados son los conjuntos finitos. Sea F_i una familia de cerrados con intersección vacía, y sea F=\{x_1,\ldots,x_n\} uno cualquiera de ellos. Entonces x_1 no está en algún F_i: llamamos F^1 a dicho cerrado. Y así lo vamos haciendo para cada x_i. Entonces F\cap F^1\cap\ldots\cap F^n=\emptyset.

Continuad...

Compacidad y axiomas de separación

Se ha visto hoy en clase que un espacio Haussdorff y compacto es normal y regular. Propongo buscar ejemplos de:

1. espacios compactos y T_1 que no sean normales.
2. espacios compactos y T_1 que no sean regulares.
3. espacios normales y Haussdorff que no sean compactos.