miércoles, 1 de abril de 2009

Compacidad y axiomas de separación

Se ha visto hoy en clase que un espacio Haussdorff y compacto es normal y regular. Propongo buscar ejemplos de:
  1. espacios compactos y T_1 que no sean normales.
  2. espacios compactos y T_1 que no sean regulares.
  3. espacios normales y Haussdorff que no sean compactos.

4 comentarios:

  1. (X,Tcf) el conjunto X con la topología de los complementos finitos se vio que era compacto y además T1 (todos los puntos son cerrados (son conjuntos finitos)). Pero este espacio no es normal. Si suponemos que X es infinito los abiertos siempre se intersecan.
    Tampoco es regular, por la misma razón.

    ResponderEliminar
  2. (R,Tu) Se sabe que es Haussdorff y normal.Se comprobó que no era compacto.

    ResponderEliminar
  3. Un ejemplo de espacio normal y T2 que no es compacto podría ser (X,TD), es decir, cualquier espacio(infinito) con la topología discreta:
    -En clase hemos estudiado que un espacio con la topología discreta es compacto sii es finito
    -Es T2 porque para cualesquiera puntos disjuntos podemos tomar como entorno de cada uno el propio punto, y por tanto hemos encontrado entornos disjuntos.
    -Es normal porque para cualesquiera dos cerrados disjuntos, podemos encontrar dos abiertos disjuntos que los contienen( basta con tomar como abiertos los propios cerrados)

    ResponderEliminar
  4. Otro ejemplo de espacio Haussdorff y normal que no es compacto es (R,T_sorg). No me acuerdo si se vio que era Haussdorff en clase, creo que sí, pero lo recuerdo: para cada dos puntos de R distintos,x e y cualesquiera,con x>y tomo entornos UeUx y VeUy
    U={[x,x+E);E > O}, V={[y,y+D);0 < D < y-x} vemos que la intersección de U y V es vacía, por lo tanto T2. También es normal, ya que para cada dos cerrados disjuntos cualesquiera [a,b) ,[x,y) tomamos dos abiertos que los contengan, que coinciden con ellos mismos, y la intersección es vacía. Y no es compacto porque un recubrimiento de abiertos de R podría ser U[-n,n],con n natural, y la unión finita de elementos de este tipo no da R.

    ResponderEliminar