Más sobre compacidad

Sea un espacio topológico $(X,\tau)$ y $\beta=\emptyset\cup\{O\in \tau;X - O\mbox{ es compacto en }(X,\tau)\}$. Probar que beta es base de una topología $\tau'$ y que está incluida en$\tau$. Además $(X,\tau')$ es compacto.

Compacidad y adherencia

Probar que en un espacio Haussdorff, la adherencia de conjunto compacto también es compacto.

Poner un contraejemplo de que no es cierto el resultado si el espacio no es Haussdorff.

Ejercicios para el final

Como las clases ya han acabado, he pensado que podemos continuar en blog proponiendo/resolviendo ejercicios. Hasta el examen del segundo parcial, vamos a considerar exámenes de los temas 5, 6 y 7.

Las soluciones tienen que aparecer en el blog, en los comentarios de cada una de las entradas.

El primero es el siguiente: se considera el conjunto [0,1]x R y la relación de equivalencia R que identifica los puntos con lasmismas ordenadas de las rectas {x=0} y {x=1}. Probar que el espacio cociente es homeomorfo a S^1 x R

Cosiendo los intervalos de la recta real

Definimos una relación de equivalencia en la recta de los números reales que identifica cada uno de los intervalos de la forma $[2n,2n+1]$ donde $n\in\mathbb{Z}$. Es decir, $xRy$ si existe $n$ tal que x e y pertenecen a algún intervalo de la forma $[2n,2n+1]$. Esta relación lo que hace es que dichos intervalos se convierten en un punto en el conjunto cociente, como si cosiéramos el intervalo; y los intervalos de la forma $(2n+1,2n)$ se dejan tal como están.

Es evidente que el espacio cociente es homeomorfo a $\mathbb{R}$. Para ello basta definir la aplicación f(x)=n, si x está en un intervalo de la forma $[2n,2n+1]$ y $f(x)=(x-1)/2$, si $x$ está en un intervalo de la forma $[2n+1,2n+2]$. Esta aplicación es continua y la relación $R_f=R$. Por otro lado, aparte de ser sobreyectiva, es cerrada (no es abierta). Así $f$ es una identificación, que induce un homeomorfismo entre $\mathbb{R}/R$ y $\mathbb{R}$