viernes, 6 de noviembre de 2009

Conjuntos densos

Un subconjunto A de un espacio topológico X es denso si su adherencia es X. Esto significa que todo punto de X es adherente a A, es decir, todo abierto de X interseca a A. De forma equivalente, A es denso si dada una base de abiertos de X, todo elemento de la base interseca a A.
El ejemplo típico es considerar el conjunto de los números racionales Q en R, con la topología usual. Tomamos la base usual de R, es decir, los intervalos abiertos. Entonces, todo intervalo interseca a Q, ya que entre dos números reales, existe un número racional. De la misma forma, el conjunto de los números irracionales es denso en R.

A continuación pongo cómo el mismo subconjunto A en X es denso o no, cambiando la topología en X. Tomamos X=R^2 y A=\{0\}\times R.
  1. Consideramos en R^2 la topología usual. Entonces A no es denso en R^2. Por ejemplo, si tomamos el punto p=(2,0) y su entorno dado por la bola B_1(p), entonces esta bola no interseca a A. En verdad, la adherencia de A es el propio A, es decir, A es un conjunto cerrado.
  2. Tomamos en R^2 la topología que tiene por base la familia \beta=\{B_y=R\times\{y\};y\in R\}. Entonces todo elemento de B_y interseca a A, concretamente, el punto (0,y)\in B_y\cap A.

8 comentarios:

  1. ¿Puede haber más de uno?, sí, ¿verdad?

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  2. Si, si en lugar de las rectas horizontales, tomamos como base las diagonales a un lado o a otro, las parábolas...todas las bases cuyos elementos corten al eje y.yo creo que si.

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  3. Para Ana: cambiamos de bases, por ejemplo, la de las diagonales. Entonces la topología cambia. ¿la cuestión es si {0}xR es denso? Cuando Ruiz se refería a si había más creo entender que el espacio topológico es fijo. La pregunta es si hay más conjuntos densos. En la recta euclídea, estaba los racionales y los irracionales. Pero es que si A es un conjunto denso, entonces cualquier conjunto que lo contiene también es denso, ya que si A c B, la adherencia de A está incluida en la de B, y por tanto, la adherencia de B es todo el espacio. Por ejemplo, en R, sea A el conjunto de los racionales junto otro subconjunto cualquiera de R. Entonces este nuevo conjunto es denso.

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  4. En el siguiente ejercicio también se puede ver que hay mas de uno, ¿no?

    Sea la topología T={vacio, {a}, {c,d}, {a,c,d}, {b,c,d,e}, X={a,b,c,d,e}}

    La adherencia de {a,c} = X y la adherencia de {a,d} = X. Por lo tanto, el conjunto {a,c} y {a,d} son subconjuntos densos de X

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  5. Perdon, había dado por hecho que al tomar la topología que tiene como base las rectas verticales se tenía que A era denso en esa topología, lo es o no?
    Ruiz a que te refieres ¿a si es denso en más sitios o si en ese sitio hay más conjuntos densos?

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  6. (Para Ana) El conjunto A no es denso tomando como base las rectas verticales: la adherencia de A es A (A es cerrado por ser el complementario de la unión del resto de las rectas verticales). Cuando se pregunta de más sitios ¿significa dejando X y cambiando la topología?

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  7. Si, pero creo que no lo he entendido bien, y por mucho que lo leo lo sigo entendiendo igual, si lo hubiera entendido bien, no habria confusion con mi comentario. mi pregunta era que si A es denso tomando otras topologias en X o si con ese X y esa topologia hay más Aes densos, no se si me explico.

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  8. En principio, yo había entendido lo segundo, es decir, si en un espacio topológico hay más de un conjunto denso. De ahí lo que había dicho: si A es denso, cualquier subconjunto que lo contiene también lo es. Por tanto, hay montones de conjuntos densos en un espacio topológico (si hay uno, claro).

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