Sobre conos

La conexión, como invariante topológico, nos sirve para distinguir espacios topológicos ¡aunque ambos sean conexos!

Un ejemplo es considerar el cono. Tomamos $X=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2\}$, que aparece en la siguiente figura.

Y tomamos el conjunto $Y=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2, z\geq 0\}$, que es el auténtico cono de los helados.

Entonces, usando un argumento de conexión, $X$ no es homeomorfo a $Y$. Llamamos $p=(0,0,0)$, que pertenece a ambos conjuntos. Concretamente, si $f:X\rightarrow Y$ es un homeomorfismo entre ellos, sea $f(p)=q$. Si restringimos $f$ al conjunto $X-\{p\}$ y su imagen, a saber, $Y-\{q\}$, queda un homemorfismo. Por tanto $X-\{p\}\cong Y-\{q\}$.

Sin embargo, $X-\{p\}$ no es conexo, concretamente, tiene dos componentes conexas:
$$X^+:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2, z>0\},$$
$$X^{-}:=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;x^2+y^2=z^2, z<0\}.$$ Pero $Y-\{q\}$ es conexo. El conjunto $Y$ es homeomorfo $\mathbb{R}^2$ (usando la proyección $(x,y,z)\longmapsto (x,y)$). Por tanto, $Y-\{q\}$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^2$ menos un punto, que es conexo (además es homeomorfo a un cilindro $\mathbb{S}^1\times\mathbb{R}$).