lunes, 26 de diciembre de 2011

Sobre letras


Todos los años, al llegar al tema de conexión y explicar las componentes conexas, siempre hago referencia a un ejercicio que vi hace tiempo en un libro de topología en el que se distinguía topológicamente las letras del alfabeto. Concretamente, vamos a suponer las letras del alfabeto escritas en mayúsculas, es decir, A B C D E, etc. El problema es, como subconjuntos de $\mathbb{R}^2$, distinguirlas topológicamente. Y usaremos conexión y componentes conexas.

En principio, y para simplificar las dificultades que se pueden prestar, supondré que cuanto una letra acaba en un trozo de segmento, el 'último' punto no está en la letra, es decir, considero ese extremo abierto. Por ejemplo, los dos extremos inferiores de la letra A no están incluidos en la letra.

Empiezo con la letra A y B. Ambas son conexas, pero no son homeomorfas. Supongo que hay un homeomorfismo f entre A y B. En la letra A, considero uno de los dos puntos de intersección entre el segmento vertical de la izquierda y el segmento horizontal. Llamo a ese punto $p$. Mediante el homeomorfismo f, dicho punto irá a alguno $f(p)$ de la letra B. Quito $p$ de $A$ y por tanto, $A-\{p\}$ es homeomorfo a $B-\{f(p)\}$. Sin embargo $A-\{p\}$ tiene dos componentes conexas, y si quito cualquier punto de la letra B, siempre queda conexo. Por tanto, llegamos a una contradicción, probando que A no es homeomorfo a B.

Del mismo modo, la letra E no es homeomorfa a la letra A. Para ello, tomamos el punto q y por tanto $E-\{q\}$ es homeomorfo a $A-\{f(q)\}$. En la letra A no hay puntos que al quitarlos quede tres componentes conexas. Esta contradicción prueba que A no es homeomorfa a E.

Y así podemos seguir con todas las letras del alfabeto.

Por ejemplo, las letras C, I, J y L son homeomorfas entre sí: son todas homeomorfas al intervalo $(0,1)$.


4 comentarios:

  1. Sabemos que la conexión es un invariante topológico, es decir, se mantiene mediante funciones continuas, concretamente, mediante homeomorfismos. Pero en este caso, por ejemplo, consideremos las letras S y C y una función
    f:S->C entre ellas. Si quitamos un punto 'p' a S y su imagen mediante la función, C-{f(p)}, tenemos que ambos conjuntos tienen dos componentes conexas. ¿Implica esto que sean homeomorfas? Es decir, que la conexión se 'conserve' ¿es suficiente para considerar que son homeomorfas?

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  2. Claudio Zalba Olaizola27 de diciembre de 2011, 11:44

    No tiene por qué, por ejemplo como se dice en la entrada del blog, la B menos cualquier punto es conexa. Tambien podemos elegir la O, que menos cualquier punto tambien es conexa. Y sin embargo la B y la O no son homeomorfas ya que para pasar de una a otra hay que "pegar" y "despegar" puntos, transformaciones que ya sabemos que no son homeomorfismos.

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  3. Para Francisco: la respuesta te la ha dado Claudio. Sin embargo en el caso que pones, es decir, las letras C y S sí son homeomorfas. No es difícil imaginar que puedes estirar S para convertirla en C, y este 'estiramiento' es un homeomorfismo. Si lo quieres más explícito, y si te imaginas que los rabitos de C y S están algo más abiertos, entonces, como conjuntos de R^2 son grafos sobre el eje y. Por tanto, ambos son homeomorfos al dominio, que es un intervalo abierto (a,b).

    Para Claudio: es cierto que B y O no son homeomorfos, pero para eso tienes que usar el concepto de 'grupo fundamental': mira en

    http://topologia-i.blogspot.com/2009/02/corona-circular-y-el-disco-abierto-no_06.html

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  4. Claudio Zalba Olaizola28 de diciembre de 2011, 20:55

    Entonces en la B hay dos lazos no contraibles a un punto y en la O solo uno, que basicamente es lo mismo que decir que la B tiene dos agujeros y la O uno. Va por ahi la cosa?

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