Continuamos con la entrada anterior, usando la caracterización por sucesiones de la adherencia en un espacio métrico. Veamos cuál es la diferencia del cálculo de la adherencia cuando el conjunto no es cerrado.
Consideramos en el plano euclídeo ${\mathbb R}^2$ el conjunto $A=(0,1)\times\{0\}$. Sea $(x,y)\in\overline{A}$. Entonces existe una sucesión $\{(x_n,y_n)\}\subset A\rightarrow (x,y)$. En particular,
$$0 < x_n < 1,\ \ y_n=0.$$Por tanto, como $\{y_n\}\rightarrow y$, se concluye que $y=0$. Por otro lado, al tomar límites en la desigualdad $0 < x_n < 1$ y ya que $\{x_n\}\rightarrow x$, entonces $0\leq x\leq 1$. Por tanto hemos concluido que si $(x,y)$ es adherente a $A$, entonces $$(x,y)\in[0,1]\times\{0\}.$$ Es decir, hemos encontrado condiciones necesarias para que $(x,y)$ sea adherente. Ya que $A\subset\overline{A}$, sólo queda estudiar si $(0,0)$ y $(1,0)$ son adherentes o no a $A$.
En este ejemplo particular, la utilidad de la caracterización por sucesiones es que sólo tenemos que estudiar si dos puntos son o no son adherentes. Si hubiéramos empezado el estudio usando la definición de punto adherente tendríamos que haber estudiado si dado un punto $(x,y)$ (que no esté en $A$) es adherente, e ir analizando casi punto por punto si es o no adherente. En cambio, por sucesiones, el esfuerzo se reduce a estudiar si 2 puntos son adherentes.
Saber si son adherentes o no ambos puntos es un trabajo con un matiz diferente. Ahora tenemos que encontrar una sucesión en $A$ que converge a los puntos en cuestión. Aquí es fácil sin más que darse cuenta de$$\{(\frac{1}{n},0)\}\rightarrow (0,0),\ \ \{(1-\frac{1}{n},0)\}\rightarrow (1,0).$$
Consideramos en el plano euclídeo ${\mathbb R}^2$ el conjunto $A=(0,1)\times\{0\}$. Sea $(x,y)\in\overline{A}$. Entonces existe una sucesión $\{(x_n,y_n)\}\subset A\rightarrow (x,y)$. En particular,
$$0 < x_n < 1,\ \ y_n=0.$$Por tanto, como $\{y_n\}\rightarrow y$, se concluye que $y=0$. Por otro lado, al tomar límites en la desigualdad $0 < x_n < 1$ y ya que $\{x_n\}\rightarrow x$, entonces $0\leq x\leq 1$. Por tanto hemos concluido que si $(x,y)$ es adherente a $A$, entonces $$(x,y)\in[0,1]\times\{0\}.$$ Es decir, hemos encontrado condiciones necesarias para que $(x,y)$ sea adherente. Ya que $A\subset\overline{A}$, sólo queda estudiar si $(0,0)$ y $(1,0)$ son adherentes o no a $A$.
En este ejemplo particular, la utilidad de la caracterización por sucesiones es que sólo tenemos que estudiar si dos puntos son o no son adherentes. Si hubiéramos empezado el estudio usando la definición de punto adherente tendríamos que haber estudiado si dado un punto $(x,y)$ (que no esté en $A$) es adherente, e ir analizando casi punto por punto si es o no adherente. En cambio, por sucesiones, el esfuerzo se reduce a estudiar si 2 puntos son adherentes.
Saber si son adherentes o no ambos puntos es un trabajo con un matiz diferente. Ahora tenemos que encontrar una sucesión en $A$ que converge a los puntos en cuestión. Aquí es fácil sin más que darse cuenta de$$\{(\frac{1}{n},0)\}\rightarrow (0,0),\ \ \{(1-\frac{1}{n},0)\}\rightarrow (1,0).$$
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