Interior de un conjunto por sucesiones

Se puede usar la caracterización por sucesiones de punto interior para estudiar si ciertos subconjuntos de ${\mathbb R}^n$ son abiertos. Tomemos el conjunto $A=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y > 0\}.$ Veamos que es abierto probando que todo punto suyo es interior, y usamos sucesiones.

Sea $(x,y)\in A$ y sea $\{(x_n,y_n)\}\rightarrow (x,y)$. Veamos que a partir de un cierto lugar, la sucesión se encuentra contenida en $A$. Por la convergencia se tiene $\{y_n\}\rightarrow y$. Como $y>0$, a partir de un cierto lugar, $y_n$ es positivo. Esto es consecuencia de la convergencia, ya que tomando $\epsilon=y>0$, existe $n_0\in{\mathbb N}$ tal que $n\geq n_0$ implica $|y_n-y|<\epsilon$. En particular,
$$-y_n+y<\epsilon=y\Rightarrow y_n>0.$$ Por tanto, $(x_n,y_n)\in A$ para $n\geq n_0$.