Interior usando bases de abiertos

Sabemos que el interior de un conjunto es el mayor conjunto abierto contenido en él. Si la topología viene dada por una base de abiertos, no podemos decir que el interior el mayor elemento de la base contenido en el conjunto. Así, por ejemplo, consideramos ${\mathbb R}$ con su topología usual y $A=(0,1)\cup(2,3)$. Este conjunto es abierto y por tanto su interior coincide con $A$. Si tomamos como base de la topología usual la base usual, es decir, la formada por los intervalos abiertos
$$\beta=\{(a,b): a < b, a,b\in{\mathbb R}\}$$ tenemos que no hay un mayor elemento de $\beta$ incluido en $A$, sino que hay uno mayor contenido en $(0,1)$ (que es $(0,1)$) y uno mayor incluido en $(1,2)$, que es $(1,2)$. En este ejemplo hay elementos de $\beta$ incluidos en $A$, pero uno hay uno mayor.

Otro ejemplo es, en el mismo espacio topológico, el conjunto $B=(0,\infty)$. Este conjunto es abierto, luego coincide con su interior. Está claro que para todo $0 \leq a < b$, $(a,b)\subset B$, pero no hay uno que sea mayor, ya que $b$ puede ser arbitrariamente grande.

También sabemos que el interior de $A$ es la unión de todos los abiertos incluidos en $A$. Por tanto, es fácil deducir que también es la unión de todos los elementos de $\beta$ incluidos en $A$. Con esta caracterización, y para el conjunto $B$ anterior,
$$int(B)=\cup\{(a,b): 0 \leq a < b, a,b\in {\mathbb R}\}=(0,\infty).$$