Sucesiones convergentes en topologías comparables

Ya hemos propuesto varias veces la cuestión sobre la relación entre los conceptos topológicos para dos topologías en la que una es más fina que la otra. Concretamente, sea $X$ un conjunto con dos topología $\tau$ y $\tau'$ tal que $\tau\subset \tau'$, es decir, $\tau'$ es  más fina que $\tau$. ¿Hay alguna relación entre las sucesiones convergentes de $(X,\tau)$ y las de $(X,\tau')$? Por ejemplo, si $\{x_n\}\rightarrow x$ en $(X,\tau)$, ¿lo mismo ocurre en $(X,\tau')$? ¿y al revés?

En este sentido, el resultado que se tiene es el siguiente: si $\tau\subset\tau'$, toda sucesión convergente en $(X,\tau')$ es convergente en $(X,\tau)$.

La prueba es fácil y es dejarse llevar. Supongamos que $\{x_n\}\rightarrow x$ en $(X,\tau')$. Veamos que $\{x_n\}\rightarrow x$ en $(X,\tau)$. Para ello sea $U$ un entorno de $x$ en $(X,\tau)$. Como ${\cal U}_x\subset {\cal U}_x^{'}$, entonces $U$ es un entorno de $x$ en la topología $\tau'$. Por la convergencia, existe $n_0\in {\mathbb N}$ tal que si $n\geq n_0$, $x_n\in U$, como se quería probar.

En la entrada anterior había una situación donde aplicar este resultado. Así, se tenía que $d'\leq d$ y por tanto, $\tau'\subset\tau$. Entonces toda sucesión convergente en $(X,d)$ también lo es en $(X,d')$. Obsérvese que en el ejemplo de las sucesiones $\{f_n\}$ se tenía justamente lo contrario, es decir, $\{f_n\}\rightarrow 0$ en $(X,d')$, pero no convergían en $(X,d)$, lo cual probaba que las distancias no eran equivalentes.