Las bolas son a veces 'raras'

Ya hemos comentando muchas veces que las bolas en un espacio métrico no son redondas, como habitualmente hacemos cuando consideramos un espacio euclídeo con la distancia usual. Ni incluso en subconjuntos de ${\mathbb R}^n$ las bolas son redondas.

El siguiente ejemplo es otro más y también algo curioso. Para particularizar, tomamos $X={\mathbb R}^2$ (aunque se puede tomar cualquier conjunto) y $d$ la distancia usual. Se define otra distancia $d'$ del siguiente modo:
$$d'(x,y)=min\{d(x,y),1\}.$$Tomamos un radio $r$ tal que $r > 1$. Como $d'(x,y) \leq  1$,  entonces $y\in B'_r(x)$. Esto prueba que $B'_r(x)={\mathbb R}^2$. Cuando $r\leq 1$, si $d'(x,y) < r$, entonces $d'(x,y)=d(x,y)$. Por tanto, $B'_r(x)=B_r(x)$.

Como conclusión, en $({\mathbb R}^2,d')$ tenemos:
$$B'_r(x)=\left\{\begin{array}{ll} {\mathbb R}^2 & r > 1\\ B_r(x) & r \leq 1\end{array}\right.$$