Voy a resumir los ejercicios que se hicieron ayer donde se probaba que ciertos subconjuntos de un espacio euclídeo son cerrados. Consideramos ${\mathbb R}^2$ con su topología usual y $f:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}$ una aplicación continua. Entonces los conjuntos $A=\{(x,y): y\leq f(x)\}$ y $B= \{(x,y): y= f(x)\}$ son cerrados. Lo probamos para el primero.
Veamos que todo punto adherente pertenece a $B$. Para ello sea $(x,y)\in\overline{B}$ y $\{(x_n,y_n)\}\subset B$ tal que $\{(x_n,y_n)\}\rightarrow (x,y)$. En particular, $$\{x_n\}\rightarrow x, \{y_n\}\rightarrow y.$$
Como $(x_n,y_n)\in B$, $y_n=f(x_n)$. Al tomar límites y usando la continuidad de $f$, tenemos
$$y=f(x).$$
Esto prueba que $(x,y)\in B$. Por tanto $\overline{B}\subset B$ y $B$ es cerrado.
El ejemplo que se hizo en clase fue tomar $f(x)=x^2$.
Para el caso de la circunferencia $A=\{(x,y): x^2+y^2=1\}$, y siguiendo el mismo razonamiento, tenemos
$$x_n^2+y_n^2=1.$$
Al tomar límites, $x^2+y^2=1$, es decir, $(x,y)\in A$, y así $A$ es cerrado.
Veamos que todo punto adherente pertenece a $B$. Para ello sea $(x,y)\in\overline{B}$ y $\{(x_n,y_n)\}\subset B$ tal que $\{(x_n,y_n)\}\rightarrow (x,y)$. En particular, $$\{x_n\}\rightarrow x, \{y_n\}\rightarrow y.$$
Como $(x_n,y_n)\in B$, $y_n=f(x_n)$. Al tomar límites y usando la continuidad de $f$, tenemos
$$y=f(x).$$
Esto prueba que $(x,y)\in B$. Por tanto $\overline{B}\subset B$ y $B$ es cerrado.
El ejemplo que se hizo en clase fue tomar $f(x)=x^2$.
Para el caso de la circunferencia $A=\{(x,y): x^2+y^2=1\}$, y siguiendo el mismo razonamiento, tenemos
$$x_n^2+y_n^2=1.$$
Al tomar límites, $x^2+y^2=1$, es decir, $(x,y)\in A$, y así $A$ es cerrado.
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