Topología a derechas

Consideramos ${\mathbb R}$ con la topología a derechas. Sabemos que una base de entornos de $x\in {\mathbb R}$ es $\beta_x=\{V_x:=[x,\infty)\}$. Las propiedades que tiene esta topología son las siguientes:

1. La base de entornos sólo tiene un elemento. 
2. Si $y\in V_x$, entonces $V_y\subset V_x$. 

Me pregunto si esta topología es la única en ${\mathbb R}$ que satisface ambas propiedades. 

 

Concretamente, supongamos que $\tau$ es otra topología, $\beta_x'=\{U_x\}$ base de entornos de $x$ en $(X,\tau)$ con las dos propiedades anteriores. Definimos en ${\mathbb R}$ una relación binaria $\leq$ del siguiente modo: $$x\leq y \mbox{ si } U_y\subset U_x.$$ Creo que esta relación es de orden. Quedaría por probar que $\leq$ es justamente la relación de orden usual de ${\mathbb R}$.