Interior en topologías en comparables

Consideramos un conjunto $X$ con dos topologías $\tau_1$ y $\tau_2$ tales que $\tau_1\subset\tau_2$. Si $A\subset X$, ¿Hay alguna relación entre el interior de $A$ en $(X,\tau_1)$ y el interior de $A$ en $(X,\tau_2)$? Denotamos a ambos interiores por $int_i(A)$, con $i=1,2$.

Ya que todo entorno de un punto en $(X,\tau_1)$ también lo es en $(X,\tau_2)$, entonces $int_1(A)\subset int_2(A)$.

Como consecuencia de esta inclusión, tenemos que $ext_1(A)\subset ext_2(A)$, contrariamente a lo que uno podría pensar ya que el exterior de un conjunto es el interior del complementario. Un ejemplo de que la inclusión es estricta es el siguiente: tomamos $X={\mathbb R}$, $\tau_1$ la topología usual y $\tau_2$ la de Sorgenfrey. Sea $A=[0,1]$. Entonces $$ext_1(A)={\mathbb R}-[0,1]$$ $$ext_2(A)={\mathbb R}-(0,1].$$