Base de entornos cerrados

Habitualmente la base de entornos que aparecen en los ejemplos está formada por entornos que son conjuntos abiertos. Sin embargo, no tiene porqué ser así. En clase apareció la siguiente base de entornos en la topología usual de ${\mathbb R}^2$: $$\beta_{(x,y)}=\{[x-\epsilon,x+\epsilon]\times [y-\epsilon,y+\epsilon]: \epsilon>0\}.$$ Incluso uno puede considerar entornos que no son abiertos ni cerrardos: $$\beta_{(x,y)}=\{(x-\epsilon,x+\epsilon]\times (y-\epsilon,y+\epsilon]: \epsilon>0\}.$$ En la topología usual, para base de entornos, no tiene porqué usarse 'intervalos'. Os dejo como ejercicio probar que la siguiente familia de conjuntos es una base de entornos de $x$ en la topología usual de ${\mathbb R}$: $$\beta_x=\{(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n})\cup\{x+\frac{1}{n-1}\}: n\in{\mathbb N}\}.$$