Sabemos que si $\beta$ es una base y $O\in\tau$, entonces $\beta\cup\{O\}$ es una base del espacio, es decir, si a una base vamos añadiendo abiertos, sigue siendo base. ¿Y al revés?
En la recta euclídea consideramos la base usual $\beta_u=\{(a,b): a < b, a,b\in{\mathbb R}\}$. Una base más pequeña es tomar $\beta_u$ y le quitamos el intervalo $(0,1)$. Otra más pequeña es $\beta_u$ y le quitamos los intervalos $(0,1)$ y $(2,3)$. Más pequeña aún. A $\beta_u$ le quitamos los intervalos de la forma $(n,n+1)$, con $n\in {\mathbb N}$.
Más todavía, a $\beta_u$ le quitamos todos los intervalos con extremos racionales, es decir,
$$\{(a,b): a < b, a,b\in {\mathbb R}-{\mathbb Q}\}$$ es base de la topología usual.
Del mismo modo, $$\{(a,b): a < b, a,b\in{\mathbb Q}\}$$ también es base.
¡Más todavía!, $$\{(a,b): a < b, a\in {\mathbb R}-{\mathbb Q}, b\in {\mathbb Q} \}$$ y
$$\{(a,b): a < b, a\in {\mathbb Q}, b\in {\mathbb R}-{\mathbb Q} \}$$ son bases de la topología usual.
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